Дипломная работа: Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

,

причем вектор-функция трижды непрерывно дифференцируема (здесь и далее мы говорим о каком-либо простом куске поверхности, которому отвечают некоторые промежутки параметров). Тогда если и неколлинеарен ни в одной точке то данная поверхность является поверхностью Каталана.

Доказательство.

Рассмотрим два случая: когда кривая, описываемая вектором – плоская и когда она неплоская.

1) Предположим, что кривая – плоская. Тогда равенство просто следует из этого факта. Очевидно, что все тройки векторов (при любом значении параметра) лежат в плоскости кривой . Поэтому и все образующие лежат в этой плоскости, значит и поверхность является по определению поверхностью Каталана.

2) Предположим, что кривая – неплоская. По условию теоремы . Продифференцируем это равенство один раз по параметру:

.

Если коллинеарен вектору в некоторой точке. Тогда

Значит коллинеарен , а значит, коллинеарен и , а мы предположили противное, значит, этот случай невозможен, т.е. неколлинеарен вектору .

Посмотрим на картинку:

Так как , то все эти три вектора лежат в одной плоскости – плоскости . А в силу того, что , эти векторы тоже лежат в одной плоскости – плоскости (в первом случае плоскость обозначена двумя дугами, во втором, одной дугой). Так как векторы и неколлинеарны, то они в обоих случаях определяют плоскость, т.е. плоскости и – совпадают, а значит, все четыре вектора: , , , лежат в одной плоскости, а значит: .

Напомним, что если дана кривая . То кручение кривой в точке вычисляется по формуле:

(*)

Т.к. – то кривая – плоская, а это противоречит предположению пункта два. Т.е. рассматриваемая ситуация невозможна.

Таким образом, кривая (в условиях теоремы) может быть только плоской кривой и при этом поверхность является поверхностью Каталана ч.т.д.

Замечание 2.3. Если в теореме убрать предположение о тройной непрерывной дифференцируемости вектор-функции . То можно построить пример поверхности, такой что , но при этом поверхность не является поверхностью Каталана.

Красивый пример можно получить следующим образом.

Нам хочется, чтобы функция «развернула» плоскость прямых или разворачивала ее постоянно. Как следует из теоремы, соответствующую функцию следует искать среди функций, 3-яя производная которых терпит в какой-либо точке разрыв.

Например, можно задаться следующим уравнением: .

Здесь – функция Хэвисайда.

Проинтегрируем это уравнение.