Дипломная работа: Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод

Загальна схема методу Фур'є. Рішення крайової задачі шукаємо у вигляді . Підставивши це рішення в (1.108), одержимо:

(1. 109)

Із цієї рівності, з огляду на граничні умови, приходимо до задачі на власні значення

(1. 110)

Загальне рішення цього рівняння має вигляд

(1. 111)

Використовуючи граничні умови, одержимо рівняння для визначення всіх власних значень задачі.

з якого після перетворення й введення величини одержуємо рівняння для визначення всіх власних значень

(1. 112)

Шукані власні функції запишуться у вигляді

(1. 113)

Тоді

. (1.114)

З рівності (1.109) для кожного λ_m одержуємо рівняння

(1. 115)

рішення якого має вигляд

(1. 116)

З огляду на (1.113) і (1.116), записуємо часткові рішення вихідного крайової задачі у вигляді

(1. 117)

а шукане рішення крайової задачі (1.105), (1.106) у силу узагальненого принципу суперпозиції запишеться у вигляді

(1. 118)

Використовуючи початкові умови, знаходимо коефіцієнти у вигляді

(1. 119)

де r₁ , r₂ визначаються рівностями (1.104), а µ₁ = 1/ (2D₁ ) .

Таким чином, рішення вихідної крайової задачі (1.97)-(1.99) у випадку осереднення швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу ω не залежить від ψ і має такий вигляд:

(1. 120)

Якщо у виразах (1.119),(1.120) покласти γ* = 0 , c* = 0 , r₁ = 0 , r₂ = =1/D₁ = 2µ₁ = 2µ , то одержимо рішення задачі про забруднення підземних вод без обліку масообміну, розглянуте раніше, а саме: