Дипломная работа: Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод

Замість власних значень λ_n можна шукати значення v = λ + µ² з рівняння

(1.83)

Таким чином, отримані аналітичні рішення всіх основних крайових завдань конвективної дифузії, забруднюючих воду, речовин за умови осереднення швидкості фільтрації по просторових координатах.

1.1.3. Моделювання масопереносу у випадку D=D( ) при наявності масообміну

Вихідні рівняння. Процес масопереносу розчинних речовин (солей, гіпсів й ін.) при фільтрації підземних вод можна описати наступною системою диференціальних рівнянь у частинних похідних:

(1.84)

(1.85)

(1.86)

де - вектор швидкості фільтрації; - потенціал швидкості фільтрації; χ - коефіцієнт фільтрації; - дифузійний потік або вектор масової швидкості розчиненої речовини (вектор кількості речовини, що переноситься через одиницю площадки за одиницю часу); і - концентрації речовини відповідно в рідкій і твердій фазах; - коефіцієнт конвективної дифузії (D_m - коефіцієнт молекулярної дифузії), σ - активна (або ефективна) пористість середовища; - оператор Гамільтона, α - постійна швидкості масообміну; β - коефіцієнт розподілу речовини між фазами в умовах рівноваги при лінійній ізотермі Генрі

(1.87)

де Γ - коефіцієнт Генрі.

У багатьох практичних задачах як рівняння кінетики масообміну береться одне з наступних рівнянь.

1) при кристалізації або розчиненні компонентів породи у фільтрівній воді

(1.88)

де -коефіцієнт насичення:

2) при нерівномірній необоротній сорбції або десорбції відповідно

(1.89)

3) при рівноважній сорбції або десорбції відповідно

(1.90)

(1.91)

де (або ) - так звана ефективна пористість або масооб’єм поглинання (виділення) речовини породою.

Надалі як рівняння кінетики беремо рівняння (1.88), що є в математичному відношенні найбільш загальним з наведених вище. Тому у випадку плоско-вертикальної сталої фільтрації система рівнянь масопереносу запишеться у вигляді

(1.92)

(1.93)

Припустимо, що вирішено фільтраційне завдання й визначений комплексний потенціал фільтрації як деяка аналітична функція . Тоді область комплексного потенціалу буде конформно відображатися на область фільтрації z функцією

(1.94)

названою зазвичай характеристичною функцією течії ( - функція потоку). Доцільно перетворити рівняння конвективної дифузії (1.93) за допомогою заміни (1.94) до нових незалежних змінних й . При такому конформному перетворенні варто враховувати прийняте припущення про залежність коефіцієнта конвективної дифузії D_y від швидкості фільтрації v. Крім того, варто взяти до уваги, що величина коефіцієнта конвективної дифузії D_y залежить не тільки від величини швидкості фільтрації, але й від її напрямку як тензор, і при рішенні крайових завдань конвективної дифузії, як правило, швидкість фільтрації осереднюється або по всій області комплексного потенціалу, або по одній з координат точок цієї області.

У зв'язку із цим доцільно робити осереднення коефіцієнта конвективної дифузії в новій системі координат окремо уздовж еквіпотенциальних ліній й уздовж лінії струму. Тим самим уводиться поняття коефіцієнта поперечної конвективної дифузії D і коефіцієнта поздовжньої конвективної дифузії D . Таким чином, у результаті перетворення рівняння (1.93) до нових змінних одержимо

(1.95)