Дипломная работа: Графічні методи розвязування задач із параметрами

Рис.1.1.7

Відповідь: .

8. Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Побудуємо графік прямої та пів парабол .

Рис.1.1.8

Якщо пів парабола розташована нижче прямої, то нерівність розв’язків немає. Розв’язки з’являються тільки з моменту дотику. Знайдемо значення параметра , яке відповідає моменту дотику двох функцій: , звідси , , звідси . При маємо 1 розв’язок. Тобто, при нерівність розв’язків немає.

Якщо , то .

Далі, зсуваючи півпараболу ліворуч, зафіксуємо момент, коли графіки , мають дві спільні точки. Таке розташування забезпечує вимога: , тоді розв’язком буде відрізок .

Коли півпарабола і пряма перетинаються тільки в одній точці (це відповідає випадку ), то розв’язком буде відрізок .

9. При яких рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Запишемо задане рівняння в такому виді: . Права частина рівняння задає нерухомий “кут", ліва частина - “кут", вершина якого рухається по вісі абсцис.

Рис.1.1.9

Задане рівняння буде мати єдиний розв’язок, якщо одна з сторін рухомого “кута" пройде через точку (-1,3). Маємо , звідки або .

Відповідь: або .

10. Знайти всі значення параметра , при яких система рівнянь має розв’язки.

Розв’язання. З першого рівняння системи знаходимо .

Це рівняння задає сім’ю парабол, які “ковзають" вершинами вздовж прямої . З другого рівняння знаходимо - коло з центром в точці (1, 0) радіуса 1.

Рис.1.1.10

З’ясуємо, при яких значення параметра сім’я парабол має спільні точки з колом.

Випадок дотику знайдемо з системи , вимагаючи від системи мати один розв’язок. Одну спільну точку графіки мають при або . Якщо , то система має два розв’язки.

Відповідь: .

Задачі для самостійної роботи

1. Знайти всі значення параметра b, при яких рівняння має єдиний Розв’язання.

Розв’язання. Позначимо . Запишемо рівняння, яке рівносильне початковому: . Переходимо до рівносильної системи

Будуємо графік функції з областю визначення та (рис.1.1.11).