Дипломная работа: Марковская и полумарковская модели открытой сети с тремя узлами

Согласно результату Севастьянова [6] и формуле (2.2.1), стационарное распределение сохраняет форму произведения (инвариантно ) и при допущенных допущениях.

Таким образом, доказана инвариантность стационарного распределения открытой сети массового обслуживания с тремя узлами.

3. МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ СЕТИ С ТРЕМЯ УЗЛАМИ И РАЗНОТИПНЫМИ ЗАЯВКАМИ

Пусть имеется открытая сеть массового обслуживания, состоящая из трёх узлов, в которую поступают два независимых пуассоновских потока заявок с интенсивностями и соответственно. Моменты поступления заявки (все равно из какого потока) образуют новый поток, который называется суперпозицией или объединением первоначальных потоков .

Обозначим через , , – вероятности поступления заявок за время соответственно для потока с интенсивностью , , суммарного потока. Так как заявки потоков с интенсивностями и поступают независимо друг от друга, то по формуле полной вероятности получим:

, (3.1)

то есть суперпозиция пуассоновских потоков с интенсивностью . [2]

Времена обслуживания заявок в различных узлах независимы, не зависят от процесса поступления заявок и имеют показательное распределение с параметрами для -ого узла, - константа (). Схематически сеть изображена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1

Заявки поступают двух типов: положительные и отрицательные. Впервые модель введена в работе [8]. На рисунке 3.1 положительные заявки обозначены знаком плюс, а отрицательные знаком минус, , – потоки на -ый узел, – поток с -ого узла, . На выходе только положительные заявки, дальше положительные заявки разбиваются на положительные и отрицательные.

Дисциплины обслуживания заявок в системах сети определяются следующим образом.

а) Если на приборе нет заявок, то отрицательная заявка, поступающая на прибор, теряется;

б) Если на приборе нет заявок, то поступающая положительная заявка начинает обслуживаться;

в) Если на приборе заявка положительная, то пришедшая отрицательная заявка выбивает заявку с прибора и положительная заявка теряется.

г) Если в очереди заявок положительных, то приходящая отрицательная заявка, вытесняет последнюю (положительную) заявку и в очереди становится заявка (-ая положительная и отрицательная заявка теряется).

Состояние сети описывается случайным процессом

,

где – число положительных заявок в момент , соответственно в первом, втором, третьем узле. В соответствии с разделом 1 и учитывая формулу (3.1) – марковский процесс.

Таким образом, в соответствии с определением 1.3 и вышесказанном, построена марковская мо