Дипломная работа: Методи дослідження мереж масового обслуговування

Число незалежних рівнянь в системі (1.3.3) на одиницю менше кількості змінних, так що її рішення єдине з точністю до мультиплікативної константи. Іншими словами, якщо — розв’язок системи рівнянь (1.3.3), то при розв’язком є і . Для відшукання однозначного розв’язку системи рівнянь (1.3.3) достатньо довільно задати значення e_i ,наприклад покласти e_i =1. У цьому випадку величину e_i можна інтерпретувати як середнє число відвідувань повідомленням центру між двома послідовними відвідуваннями ним першого центру.

Нехай — потік, що проходить через -й центр в стаціонарному режимі. Тоді вираз зв'язує потоки, що проходять через i-й і перший центри мережі.

1.4 ІНШІ ВИЗНАЧЕННЯ

В силу статистичної однорідності повідомлень, що циркулюють у відкритих і замкнених мережах МО, такі мережі називають однорідними. При цьому однорідну мережу МО називатимемо експоненціальною, якщо функції розподілу є експоненціальними, і немарківською, якщо хоча б одна з цих функцій є довільною.

Природним узагальненням однорідних мереж МО є мережі з кількома класами повідомлень, відмінними як маршрутами, так і тривалістю обслуговування в центрах. Така мережа може бути відкритою, замкненою або змішаною. Змішана мережа МО відкрита для одних класів повідомлень, які надходять в неї ззовні і після закінчення обслуговування покидають її, і замкнена для інших класів (кількість повідомлень кожного з таких класів усередині мережі постійна).

Основні підходи до дослідження мереж МО з кількома класами базуються або на прямому методі відшукання виразів для ймовірностей станів мережі з використанням техніки складання рівнянь локального балансу, або на методі складання рекурентних рівнянь для середніх значень.

РОЗДІЛ 2. СКЛАДАННЯ РІВНЯНЬ ЛОКАЛЬНОГО БАЛАНСУ ДЛЯ МЕРЕЖ МО

2.1 ОДНОРІДНІ ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНІ МЕРЕЖІ

Опис математичного дослідження мереж МО доцільно почати з методів дослідження простих однорідних експоненціальних мереж, тобто мереж МО, в яких функції розподілу тривалості обслуговування в центрах є експоненціальними, а вхідні потоки повідомлень — пуассонівськими (якщо мережа є відкритою). Саме для мереж цього типу, був відзначений чудовий факт, що полягає у тому, що стаціонарна імовірність станів мережі має мультиплікативну форму. Цей факт є основою для подальших аналітичних досліджень більш загальних мереж МО, а також розробки ефективних алгоритмів розрахунку характеристик мереж МО.

2.1.1 РІВНЯННЯ ГЛОБАЛЬНОГО БАЛАНСУ ДЛЯ ЗАМКНЕНИХ МЕРЕЖ

Розглянемо однорідну замкнену мережу МО з багатолінійними центрами, дисципліною обслуговування ПППО, в якій циркулюють N повідомлень відповідно до матриці маршрутів . Тривалість обслуговування повідомлення приладом i-го центру розподілена за експоненціальним законом з параметром , так, що загальна інтенсивність обслуговування будь-якого центру визначається виразом (1.1.1). Розглянемо багатовимірний випадковий процес

де — число повідомлень, що знаходяться в k-му центрі (у черзі і на обслуговуванні) у момент t (), і позначимо через

імовірність того, що у момент t мережа знаходиться в стані

Позначимо через S(N,M) множину М-вимірних векторів з невід’ємними цілочисельними координатами

потужність якої (кількість станів) дорівнює

Випадковий процес N(t), який визначений на просторі станів S(N,M), є марківським, оскільки тривалості обслуговування в центрах мережі розподілені за експоненціальним законом. Аналізуючи можливі переходи цього процесу за проміжок часу і переходячи до границі при , одержуємо наступну систему прямих диференціальних рівнянь Колмогорова:

де - — вектор, i-я координата якого дорівнює 1, а інші дорівнюють нулю; функція визначає число повідомлень, що знаходяться на обслуговуванні в k-му центрі (), коли загальне число повідомлень в ньому дорівнює при n_i =0 і при .

Розглянемо розв’язання системи (2.1.1) в стаціонарному режимі, який в замкненій мережі МО завжди існує. Прирівнюючи до нуля похідні в лівій частині системи рівнянь (2.1.1), для ймовірностей стаціонарного розподілу марківського процесу N(t)

з урахуванням тотожності одержуємо наступну систему лінійних різницевих рівнянь:

Ліва частина є швидкістю переходів із стану n, а права — швидкість переходів в цей стан. Рівняння (2.1.2) називають рівнянням глобального балансу.

2.1.2 ВИГЛЯД РОЗВ’ЯЗКУ В МУЛЬТИПЛІКАТИВНІЙ ФОРМІ

Переходячи до розв’язання системи рівнянь (2.1.2), введемо функцію