Дипломная работа: Методи дослідження мереж масового обслуговування

яка може бути представлена також рекурсивно:

введемо заміну змінних в (2.1.2):

Після підстановки (2.1.4) в (2.1.2) одержимо нову систему рівнянь відносно Q(n):

Якщо представити Q(n) у вигляді функції М невідомих параметрів x_i :

і підставити у вираз (2.1.5), то (2.1.5) набуває наступного простого вигляду:

З метою подальшого спрощення останньої системи рівнянь припустимо, що всі N повідомлень знаходяться в j-му центрі і, отже, в решті центрів повідомлення відсутні. Враховуючи, що функція в цьому випадку за означенням дорівнює нулю для всіх , одержуємо

або, ввівши позначення

Отже, невідомі параметри x_k визначаються з системи лінійних рівнянь (2.1.9), рішення якої в силу припущення про вид маршрутної матриці Р єдине з точністю до мультиплікативної константи ε.

Таким чином, стаціонарний розподіл ймовірності станів даної замкненої однорідної експоненціальної мережі МО має вигляд

Нормалізуюча константа визначається з умови нормування

Тут підсумовування ведеться по всіх можливих станах вектора

.

З (2.1.11) витікає, що

Підставляючи (2.1.12) в (2.1.10) і враховуючи, що , одержуємо остаточно

З останнього виразу видно, що стаціонарні імовірності Р(n) не залежать від константи ε з точністю, до якої визначаються значення вектора ε, і мають вид добутку, співмножники якого є стаціонарні імовірності станів i-го центру, що розглядається окремо від мережі.

Формули (2.1.12) і (2.1.13) дозволяють визначати різні імовірнісні характеристики мережі МО. Наприклад, ймовірність того, що кількість повідомлень в і-му однолінійному центрі більше або рівне n, має вигляд