Дипломная работа: О категории множеств
Доказательство : следует из предыдущих двух утверждений.
· Каждая единичная стрелка является изострелкой.
Доказательство: Пусть f: a®a – единичная стрелка. Существует стрелка f –1 : a®a и f –1 °f=1a , f °f –1 =1a .Þ f – изострелка. Ч.т.д.
· Если f – изострелка, то f –1 – изострелка.
Доказательство: пусть f: a®b – изострелка. Тогда f –1 : b®a. f – изострелка Þ f °f –1 =1b , f –1 °f=1a . Þ f –1 – изострелка. Ч.т.д.
· Если f , g – изострелки, то f ° g – изострелка, при этом ( f ° g )- 1 = g –1 ° f - 1
Доказательство: пусть f: b®c, g: a®b. f °g: a®c. f,g- изострелки Þ $ f –1 : c®b и $ g –1 : b®a Þ$ g –1 °f –1 :c®a. Эта композиция является «подозрительной» на обратную к стрелке f °g. Проверим это:
1) (g –1 °f –1 )°(f °g)=(ассоциативность)=g –1 °(f –1 °f °g)=g–1 °(1b °g)=g–1 °g=1a .
2) (f °g )°g –1 ° f –1 =f °(g °g –1 °f –1 )=f °(1b °f –1 )=f °f –1 =1c.
Þ f°g- изострелка и (f °g)-1 =g –1 °f –1 .Ч.т.д.
1.4. Изоморфные объекты
Определение: Объекты a и b называются изоморфными в Ω (символически a@b), если существует Ω – стрелка f:a®b, являющаяся изострелкой в Ω, т.е. f: a@b.
· Произвольные Ω – объекты обладают следующими свойствами:
1) a @ a
2) если a @ b, то b @ a
3) если a @ b и b @ с, то a @ c
Доказательство:
1) в любой категории существует стрелка 1a : a®a (по определению категории). Единичная стрелка является изострелкой (доказано выше). Получаем, что a@a (по определению изоморфных объектов).
2) a@b Þ$ f :a®b и f – изострелка Þ $ f –1 : b®a (по определению изострелки). Ранее доказано, что если f - изострелка, то и f –1 – изострелка. Т.е. f –1 : b®a – изострелка Þ b@a (по определению изоморфных объектов).
3) a@b Þ$ f :a®b – изострелка.
b@с Þ$ g :b®c – изострелка.
Dom g=cod f Þ $ g °f: a®c и g °f – изострелка (т.к.f и g – изострелки (доказано выше)). Чтобы доказать, что a@c, необходимо найти изострелку t: a®c. Возьмем в качестве такой изострелки t изострелку g °f. Ч.т.д.
1.5. Начальные объекты
Определение: объект 0 называется начальным в категории Ω, если для каждого объекта а из Ω существует одна и только одна Ω – стрелка из 0 в а.
· Любые два начальных объекта изоморфны в Ω.
Доказательство:
Предположим, что 0 и 0’- начальные объекты. Требуется доказать, что 0@0’. Для этого необходимо найти изострелку 0®0’.
Существуют единственные стрелки f: 0’®0 (т.к.0’ - начальный объект) и g: 0®0’ (т.к. 0 – начальный объект). Dom f=cod g Þ$ f °g: 0®0. 0 – начальный объект Þ $! стрелка 0®0. и по определению категории для каждого Ω – объекта $ единичная стрелка. Значит стрелка 10 : 0®0 и стрелка f °g:0®0 совпадают. Аналогично, стрелка g °f:0’®0’ совпадает со стрелкой 10’ . Тогда g имеет обратную стрелку (а именно f), т.е. g: 0@0’. Ч.т.д.
1.6. Конечные объекты
Обращая направление стрелок в определении начального объекта, получаем следующее определение.
Определение: объект 1 называется конечным в категории Ω, если для каждого Ω – объекта а существует одна и только одна стрелка из а в 1.
· Все конечные объекты изоморфны .