Дипломная работа: О категории множеств

2) h°1_A =h

получили конкретную категорию множеств (категория Set).

В категории множеств объектами являются все множества, а стрелками – все функции между множествами. Выполняются следующие свойства:

1. С каждой стрелкой связано два специальных объекта – её начало и конец.

2. Имеется операция композиции, которая применяется к определенным парам ‹ g, ¦› стрелок данной категории (когда область значения первой совпадает с областью определения второй) и дает в результате новую стрелку g˚¦, также принадлежащую данной категории.

3. С каждым объектом данной категории связана специальная стрелка – единичная, или тождественная, стрелка этого объекта.

2.1. Мономорфизм в категории множеств

· В категории Set (категория множеств) для любого отображения f:A→B эквивалентны условия:

1) f- мономорфизм

2) f-инъекция

3) g°f=1_A для некоторого g:B→A

Доказательство: поведем по циклу 1)→2)→3)→1)

1)→2): предположим, что мономорфизм f не является инъективным отображением, т.е. в А и f(a1)=f(a2)=b.

Возьмем произвольное непустое множество С и два отображения u:C→A, v:C→A, такие, что при отображении v множество С переходит в элемент а1ÎА, а при отображении u множество С переходит в элемент а2ÎА. Заметим, что u¹v. Тогда ,нетрудно видеть, что f°u=b=f°v. но f – мономорфнаÞu=v. Пришли к противоречию, после того, как предположили, что f- не инъективнаÞf – инъективна.

2)→3) Пусть f-инъекция. Для доказательства необходимо найти отображение g:B→A. зададим отображение g правилом:

g(b)=

Тогда, очевидно, что g°f=1_A .

3)→1) в произвольной категории доказано свойство о том, что если заданы отображения f:A→B, g:B→A, то из того, что g°f - мономорфизм следует, что f-мономорфизм. По условию g°f=1_А . Выше также доказано свойство о том, что любая единичная стрелка является монострелкой . Из всего вышесказанного следует, что f – мономорфизм. Теорема доказана полностью.

2.2. Эпиморфизм в категории множеств

· В категории Set (категория множеств) для любого отображения f:A→B эквивалентны условия:

1) f- эпиморфизм, 2) f-сюръекция, 3) f°g=1_B

для некоторого g:B→A

Доказательство :

доказательство поведем по циклу 1)→2)→3)→1)

1)→2) пусть f – эпиморфизм. Предположим, что отображение f не является отображением «на», т.е. не является сюръекцией. (Imf¹B).

Возьмем b1ÎB\Imf.

Пусть С={b1,b2}. Возьмем отображения u:B→C, такое, что любой элемент из В переходит в b2. отображение v:B→C зададим следующим образом:

Заметим, что u и v не совпадают. Тогда u°f=b=v°f. Так как f-эпиморфизм (по условию)Þu=v. Получили противоречие после того, как предположили, что f не является сюрьекцией. Значит, f – сюрьекция.

2)→3) пусть f- сюрьекция.

сюьективность означает, что его прообраз не пуст. По аксиоме выбора: существует отображение g:B→. Тогда f °g=1_B . Ч.т.д.