Дипломная работа: Оценка периметра многоугольника заданного диаметра

Среди всех плоских фигур данного периметра L найдите ту, которая имеет максимальную площадь.

Как и первые два параграфа 3 содержит ряд теоретических сведений касающихся вписанной, описанной окружности выпуклой фигуры; центра выпуклой фигуры; особое внимание уделено симметризации выпуклой фигуры, а также представлены некоторые задачи на наибольшие и наименьшие значения численных величин, связанных с выпуклыми фигурами.выпуклый фигура изопериметрический экстремум теорема

Основное содержание работы составляет вторая глава, которая состоит из двух параграфов. Данная глава посвящена решению одной красивой задачи, а именно отысканию пятиугольника единичного диаметра, имеющего наибольший периметр. Для решения этой задачи доказывается ряд теорем.

В 1 установив, что диаметр многоугольника совпадает либо с одной из сторон, либо с одной из диагоналей многоугольника (теорема 2.1.1) показывается, что в пятиугольнике наибольшего периметра единичного диаметра, или в оптимальном пятиугольнике, все стороны меньше 1 (теорема 2.1.2). При этом доказательство данной теоремы опирается на лемму о том, что сумма расстояний от точки дуги окружности до ее концов принимает наибольшее значение, когда эта точка делит дугу пополам. Затем в результате последовательного доказательства двух теорем (теорема 2.1.3 и теорема 2.1.4) устанавливается, что в оптимальном пятиугольнике, по крайней мере, четыре диагонали равны 1.

В 2 делается вывод о том, что оптимальным пятиугольником является правильный пятиугольник (теорема 2.2.1).

Было замечено, что в случае выпуклого четырехугольника оптимальным является не квадрат. [2, 269]

Глава 1. Общие сведения о задачах на экстремум. Примеры экстремальных задач

1. Общие свойства выпуклых фигур

Определение 1.1.1. Плоская фигура называется выпуклой , если она целиком содержит прямолинейный отрезок, соединяющий любые две принадлежащие фигуре точки.

Рис. 1.1.1

Так, на рис. 1.1.1фигуры а),б),в)выпуклые фигуры, а фигура на рисунке 1.1.1 г)не выпукла. Круг и треугольник являются выпуклыми фигурами, четырехугольник же может быть как выпуклым, так и невыпуклым в зависимости от того, пересекаются ли его диагонали внутри или вне четырехугольника (рис. 1.1.2 а, б). [1, 38]

Рис. 1.1.2

Определение 1.1.2. Пересечением двух (или нескольких) фигур называется фигура, состоящая из всех точек, принадлежащих обеим (или всем, если их несколько) фигурам.

Определение 1.1.3. Фигура называется ограниченной , если она целиком помещается внутри некоторой окружности. [8, 13]

Например , всякий параллелограмм, треугольник, круг, а также все фигуры, изображенные на рис. 1.1.1, являются ограниченными фигурами.

На рис. 1.1.3 изображено несколько неограниченных фигур; из них выпуклыми являются фигуры а)(полуплоскость), б)(полоса), в)(угол) и г).

Рис. 1.1.3

По отношению ко всякой плоской фигуре все точки плоскости делятся на три категории: внутренние, внешние и граничные . [8, 14]

Определение 1.1.4. Точка фигуры называется внутренней , если существует круг (хотя бы очень малого радиуса) с центром в этой точке, целиком принадлежащий фигуре.

Внутренними точками фигуры будут, например , точки А и А' на рис. 1.1.4.

Рис. 1.1.4

Определение 1.1.5. Точка называется внешней по отношению к фигуре, если существует круг с центром в этой точке, не содержащий точек фигуры.

Примером внешней точки по отношению к фигуре является точка В на рис. 1.1.4.

Определение 1.1.6. Точка фигуры называется граничной, если любой круг с центром в данной точке, всегда будет содержать как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей.

Например , точка С на рис. 1.1.4 является примером граничной точки фигуры. [7, 185]