Дипломная работа: Оценка периметра многоугольника заданного диаметра
Определение 1.1.7. В ыпуклым многоугольником называют и плоскую фигуру, и линию — границу этой фигуры.
Определение 1.1.8. Точками, принадлежащими фигуре, или, точками фигуры , называют все ее внутренние или граничные точки.
Определение 1.1.9. Если множество содержит все свои граничные точки, то оно называется замкнутым. Если же множество не содержит ни одной своей граничной точки, т.е. состоит из одних внутренних точек, то оно называется открытым. [7, 15]
Определение 1.1.10. Одномерные выпуклые фигуры это линии, обладающие тем свойством, что отрезок АВ ,соединяющий любые две точки А и В такой линии, целиком принадлежит ей. [8, 16]
Одномерные выпуклые фигуры можно охарактеризовать как выпуклые фигуры, все точки которых являются граничными.
Двумерные (плоские) выпуклые фигуры могут быть весьма разнообразны (см., например, фигуры а), б), в)на рис. 1.1.1 и а), б), в), г)на рис. 1.1.3).
Определение 1.1.11. Отрезок это ограниченная одномерная выпуклая фигура.
Пусть Ф — произвольная плоская фигура.
Определение 1.1.12. Прямая l называется опорной прямой фигуры Ф, если она проходит хотя бы через одну граничную точку фигуры Ф и вся фигура Ф расположена по одну сторону от прямойl (рис. 1.1.5).
Рис. 1.1.5
Например , прямая, проведенная через вершину треугольника параллельно противолежащей стороне (рис. 1.1.6, а),или сторона треугольника (рис. 1.1.6,6)являются опорными прямыми треугольника; каждая сторона выпуклого многоугольника является его опорной прямой. Касательная к окружности является опорной прямой для круга, ограниченного этой окружностью (рис. 1.1.6, в).Опорная прямая может иметь с выпуклой ограниченной фигурой или единственную общую точку (см., например, рис. 1.1.6, а, в),или целый общий отрезок (рис. 1.1.6, б);если выпуклая фигура не ограничена, то опорная прямая может даже целиком принадлежать фигуре (рис. 1.1.6, г). [8, 18]
Рис. 1.1.6
Опорную прямую выпуклой фигуры Ф можно также определить следующим образом:
Определение 1.1.13. Опорная прямая выпуклой фигуры Ф - это такая прямая, которая содержит граничные точки фигуры, но не содержит ни одной ее внутренней точки.
Действительно, прежде всего ясно, что опорная прямая не может содержать внутренней точки А фигуры: в противном случае точки фигуры Ф, расположенные внутри некоторой окружности с центром в точке А ,находились бы по обе стороны от опорной прямой (рис. 1.1.7). С другой стороны, если прямая l не содержит внутренних точек выпуклой фигуры Ф, то вся фигура должна быть расположена по одну сторону от l . Действительно, пусть А — какая-нибудь внутренняя точка Ф. Если бы какая-либо (внутренняя или граничная) точка В фигуры находилась по другую сторону от прямой l , чем точка А (рис. 1.1.8), то точка пересечения прямой l с отрезком АВ была бы внутренней точкой Ф (см. задачу 1.1.3 а, б). [8, 19]
Теорема 1.1.1. К каждой ограниченной выпуклой фигуре можно провести в точности две опорные прямые, параллельные данному направлению.
Доказательство.
Для того чтобы это доказать, проведем через каждую точку ограниченной выпуклой фигуры Ф прямую, параллельную данному направлению (рис. 1.1.9). Все эти прямые пересекают произвольную прямую, перпендикулярную к выбранному направлению, по одномерной выпуклой фигуре (если А и В — две произвольные точки пересечения нашей совокупности прямых с перпендикулярной к ним прямой, а С —произвольная точка отрезка АВ ,то С тоже должна принадлежать этому пересечению; это нетрудно видеть из рис. 1.1.9, если воспользоваться выпуклостью фигуры Ф). Следовательно, это пересечение должно быть отрезком прямой линии (ограниченность пересечения вытекает из ограниченности фигуры Ф), а совокупность прямых, параллельных заданному направлению, проведенных через все точки Ф, должна представлять собой полосу. Крайние (граничные) прямые l 1 и l 2 этой полосы и являются двумя опорными прямыми, параллельными заданному направлению.
Рис. 1.1.9
Теорема доказана. [8, 20]
Определение 1.1.14 . Наибольшее расстояние между двумя точками плоской фигуры Ф называется диаметром фигуры .
Иначе говоря, диаметром фигуры Ф называется такое расстояние d , что, во-первых, расстояние между любыми двумя точками М и N фигуры Ф не превосходитd и, во-вторых, можно отыскать в фигуре Ф хотя бы одну пару точек А и В , расстояние между которыми в точности равно d . [1, 6]
Например , для круга диаметр, в указанном смысле, совпадает с обычным его диаметром (наибольшая из хорд).
Определение 1.1.15. Пусть К выпуклая кривая l ’ и l ’’ две ее параллельные опорные прямые. Расстояние h между этими опорными прямыми называется шириной кривой К в направлении перпендикулярном к прямым l ’ и l ’’ (рис. 1.1.10). [7, 198]
