Дипломная работа: Оценка периметра многоугольника заданного диаметра

Задача №1.1.1. Докажите, что пересечение двух или нескольких выпуклых фигур есть выпуклая фигура.

Задача №1.1.2. Докажите, что всякий выпуклый многоугольник является пересечением конечного числа полуплоскостей (рис.1.1.24). [8, 14]

Рис. 1.1.24

Задача №1.1.3. Докажите, что

а) если А и В — внутренние точки выпуклой фигуры Ф , то все точки отрезка АВ — внутренние точки Ф ;

б) если А — внутренняя, а В — граничная точка выпуклой фигуры Ф , то все точки отрезка АВ ,кроме В ,— внутренние точки Ф ;

в) если А и В —граничные точки выпуклой фигуры Ф , то либо все точки отрезка АВ — граничные точки Ф , либо все точки отрезка АВ ,кроме А и В ,— внутренние точки Ф .

Задача №1.1.4. Докажите, что всякая прямая, проведенная через внутреннюю точку выпуклой фигуры, пересекает ее границу не более, чем в двух точках. Если выпуклая фигура ограничена, то каждая прямая, проходящая через какую-либо ее внутреннюю точку, пересекает границу фигуры ровно в двух точках.

Задача №1.1.5. Докажите, что если всякая прямая, проходящая через любую внутреннюю точку ограниченной фигуры, пересекает ее границу в двух точках, то фигура выпукла. [8, 15]

Задача №1.1.6. Докажите, что каждая из двух параллельных опорных прямых, расстояние между которыми имеет наибольшее возможное значение, содержит единственную точку границы фигуры и что отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен к обеим опорным прямым (рис. 1.1.25). [8, 20]

Рис. 1.1.25

Задача №1.1.7. Докажите, что наибольшее расстояние между двумя точками выпуклой фигуры совпадает с наибольшим расстоянием между парой параллельных опорных прямых.

Задача №1.1.8. Докажите, что если А и В — две точки выпуклой фигуры Ф , расстояние dмежду которыми имеет наибольшее значение, то прямые, проведенные через точки А и В перпендикулярно к отрезку АВ ,являются опорными прямыми Ф . [8, 21]

1.2 Решения

Задача №1.1.1

Пусть Ф₁ и Ф₂ — две выпуклые фигуры, Ф — их пересечение, А и В — две произвольные точки, принадлежащие пересечению Ф (рис. 1.1.26). По определению пересечения двух фигур обе точки А и В принадлежат как фигуре Ф₁ , так и фигуре Ф₂ . В силу выпуклости фигуры Ф₁ все точки отрезка АВ принадлежат Ф₁ , а в силу выпуклости Ф₂ — все они принадлежат также фигуре Ф₂ . Следовательно, отрезок АВ целиком принадлежит пересечению Ф фигур Ф₁ и Ф₂ , а это и означает, что пересечение Ф выпукло.

Рис. 1.1.26 Рис. 1.1.27

Точно так же доказывается, что пересечения Ф нескольких выпуклых фигур Ф₁ , Ф₂ ,..., Ф_п выпукло: если А и В — две произвольные точки Ф , то А и В принадлежат одновременно всем фигурам Ф₁ ,Ф₂ , ..., Ф_п и в силу того, что все эти фигуры выпуклы, все точки отрезка АВ принадлежат одновременно всем фигурам Ф₁ , Ф₂ ,..., Ф _n , т.е. принадлежат их пересечению Ф .

Примечание . Теорема остается верной и в том случае, когда фигур Ф_1, … ,Ф _n ,... бесконечно много; доказательство ее остаётся прежним. Например, на рис. 1.1.27 изображены равные между собой квадраты с общим центром. Легко видеть, что пересечением всех таких квадратов (а этих квадратов бесконечно много) является круг, т. е. выпуклая фигура.

Задача №1.1.2

Выпуклый многоугольник Ф лежит по одну сторону от каждой прямой, являющейся продолжением его стороны. В самом деле, если бы существовала точка С ,принадлежащая Ф и расположенная не с той стороны прямой АВ (А и В — две соседние вершины Ф ), с какой многоугольник Ф примыкает к стороне АВ (рис. 1.1.28), то, например, отрезок МС , соединяющий внутреннюю точку М отрезка АВ с точкой С , не принадлежал бы целиком Ф , т. е. многоугольник Ф не мог бы быть выпуклым. Таким образом, выпуклый многоугольник Ф расположен целиком в каждой из полуплоскостей, границами которых служат прямые, содержащие каждую из сторон многоугольника. Пересечение всех таких полуплоскостей и дает многоугольник Ф .

Рис. 1.1.28

Задача №1.1.3

а) Пусть А и В — две внутренние точки фигуры Ф . Согласно определению внутренних точек (определение1.1.4)существуют два круга С и ђ с центрами соответственно в точках А и В ,все точки которых принадлежат фигуре Ф (рис. 1.1.29, а).Пусть М N и Р Q — внешние общие касательные кругов С и ђ .В силу выпуклости Ф вся криволинейная фигура МР Q N ,заштрихованная на рис. 1.1.29, а)принадлежит Ф , и следовательно, каждая точка D отрезка АВ является центром некоторого круга, все точки которого принадлежат Ф (этот круг вписан в фигуру МР QN ).

б) Доказательство почти не отличается от доказательства пункта а), только окружность ђ приходится заменить одной точкой В и фигуру М PQN — фигурой MBN , заштрихованной на рис. 1.1.29, б).