Дипломная работа: Оценка периметра многоугольника заданного диаметра
Определение 1.1.19. Ограниченная фигура называется выпуклой , если через каждую ее граничную точку проходит, по крайней мере, одна опорная прямая. [8, 26]
Пусть Ф — произвольная ограниченная выпуклая фигура, К — ее граница. Установим на кривой К определенное направление обхода, например, против часовой стрелки. При движении по кривой К в этом направлении фигура Ф все время остается слева (рис. 1.1.18). В соответствии с этим установим направления и на опорных прямых фигуры Ф.
Будем выбирать направление опорной прямой l фигуры Ф таким образом, чтобы фигура Ф лежала слева от прямой l (рис. 1.1.19).
Рис. 1.1.18 Рис. 1.1.19
В таком случае две параллельные между собой опорные прямые l 1 и l 2 фигуры Ф получат противоположные направления. Таким образом, каждому направлению в плоскости (которое можно задавать при помощи прямой со стрелкой) будет соответствовать единственная опорная прямая , имеющая это направление (рис. 1.1.19).
Если К это многоугольник, то задание направления обхода позволяет говорить о направлениях сторон многоугольника.
Определение 1.1.20. п граничных точек А , В , С ,..., Р фигуры Ф расположены в циклическом порядке , если при обходе кривой К ,ограничивающей фигуру Ф, против часовой стрелки эти точки встречаются в указанном порядке
Рис. 1.1.20
Определение 1.1.21. Если точки А , В , С ,..., Р кривой К расположены в циклическом порядке, то многоугольник АВС ...Р называется вписанным в кривую К .
Определение 1.1.22. Если l 1 , l 2 , ... , l п это п опорных прямых выпуклой фигуры Ф, на каждой из которых установлено направление, а П1 , П2 , ... , Пn - соответствующие им левые полуплоскости (рис.1.1.21), то Ф расположена в каждой из этих левых полуплоскостей, а значит, и в их пересечении. Если это пересечение ограничено, т. е. является многоугольником, то этот многоугольник называется описанным вокруг фигуры Ф или вокруг ограничивающей ее кривой К .[8, 27]
Рис. 1.1.21
Из этого определения следует, что многоугольник, описанный вокруг выпуклой фигуры, всегда является выпуклым. Сторонами описанного многоугольника являются отрезки прямых l 1 , l 2 , ... , l п .
Может, однако, оказаться, что три (или больше) из взятых п опорных прямых будут проходить через одну и ту же граничную точку фигуры Ф (которая в этом случае обязательно является угловой; рис. 1.1.22). В таком случае описанный многоугольник будет иметь меньше чем п сторон. Такой многоугольник называют n -угольником , имеющим одну или несколько сторон нулевой длины , т. е сторон, превратившихся в точки. Эти стороны нулевой длины имеют определенные направления, а именно направления соответствующих опорных прямых
Рис. 1.1.22
Это позволяет говорить об п внутренних и внешних углах описанного n-угольника независимо от того, имеет ли он стороны нулевой длины или нет.
Определение 1.1.23. Длиной ограниченной выпуклой кривой К и площадью фигуры Ф, которую эта кривая ограничивает, называются пределы периметров, соответственно площадей, вписанных в Ф многоугольников, все стороны которых безгранично уменьшаются, или описанных вокруг Ф многоугольников, все внешние углы которых безгранично уменьшаются.
Из этого определения следует, что если выпуклая кривая К целиком заключена внутри выпуклой кривой ʒ , то длина К не может быть больше длины ʒ .
Теорема 1.1.3. Если выпуклая кривая К целиком заключена внутри выпуклой кривой К’ , то длина К не может быть больше длины К’ .
Доказательство .
Действительно, рассмотрим последовательность многоугольников, вписанных в кривую К ,стороны которых безгранично уменьшаются, и последовательность многоугольников, описанных вокруг ʒ ,внешние углы которых безгранично уменьшаются (рис. 1.1.23).
Рис. 1.1.23
Каждый из многоугольников второй последовательности заключает в себе каждый из выпуклых многоугольников первой последовательности и, следовательно, имеет больший периметр; отсюда следует, что предел периметров многоугольников второй последовательности — длина ʒ не меньше предела периметров многоугольников первой последовательности — длины К .
Теорема доказана.
Определение 1.1.24. Периметром плоской фигуры называется длина кривой, ограничивающей эту фигуру. [8, 28]