Дипломная работа: Оценка периметра многоугольника заданного диаметра
Рис. 1.1.29
в) Пусть А и В — две граничные точки выпуклой фигуры Ф . Отрезок АВ может целиком состоять из граничных точек (рис. 1.1.30, а) — это и есть первый случай, указанный в условии задачи.
Рис. 1.1.30
Если же какая-либо точка С отрезка АВ является внутренней точкой Ф , то согласно пункту б) все точки отрезков СА и СВ ,кроме А и В ,должны быть внутренними для Ф — это второй случай, указанный в условии (рис. 1.1.30, б). [8, 140]
Задача №1.1.4
Пусть Ф это выпуклая фигура, О — ее внутренняя точка и l —прямая, проходящая через точку О .Так как прямая l сама является выпуклой фигурой, то ее пересечение с фигурой Ф будет (согласно задаче 1.1.1) выпуклой фигурой, расположенной на прямой (одномерной выпуклой фигурой), т. е. отрезком, лучом или всей прямой. Если это — отрезок, то его концы А и В являются граничными точками фигуры Ф (рис. 1.1.31), и следовательно, прямая l содержит две граничные точки Ф .
Если это пересечение — луч (прямая l 1 на рис. 1.1.31), то его начало ?? будет единственной граничной точкой фигуры Ф , лежащей на прямой l 1.
Если, наконец, прямая l целиком принадлежит фигуре (рис. 1.1.32), то на этой прямой нет ни одной граничной точки фигуры Ф .
Если фигура Ф ограничена, то ее пересечение с прямой также ограничено и, следовательно, является отрезком. Таким образом, на каждой прямой l , проведенной через внутреннюю точку ограниченной выпуклой фигуры Ф , имеются ровно две граничные точки этой фигуры. [8, 142]
Задача № 1.1.5
Утверждение данной задачи равносильно утверждению, что для всякой ограниченной невыпуклой фигуры Ф найдется прямая, пересекающая ее границу более чем в двух точках. Докажем это.
Пусть Ф — ограниченная невыпуклая фигура. В таком случае найдутся такие точки А и В ,принадлежащие Ф , что отрезок, их соединяющий, не принадлежит целиком фигуре Ф ; обозначим через С точку отрезка АВ ,не принадлежащую Ф (рис. 1.1.33, а).Мы всегда можем предположить, что точка А — внутренняя точка Ф .
Действительно, если А — граничная точка Ф , ?? — внутренняя точка, достаточно близкая к точке А , то отрезок А’В также будет иметь точки вне фигуры Ф (рис. 1.1.33, б).
Итак, пусть А — внутренняя точка. На отрезке ВС есть граничная точка Р1 , фигуры Ф (может быть, совпадающая с В ),т.к. точка В принадлежит фигуре Ф , а С лежит вне ее. На отрезке АС также есть граничная точка Р2 фигуры Ф (А лежит внутри Ф , С — вне этой фигуры). Тогда, продолжив отрезок ВА за точку А ,мы получим луч А D , исходящий из внутренней точки А фигуры Ф . На этом луче также есть граничная точка Р3 фигуры Ф (т.к. фигура Ф ограничена).
Итак, на прямой АВ, проходящей через внутреннюю точку А фигуры Ф , лежат по крайней мере три граничные точки Р1 , Р2 и Р3 , что и требовалось доказать. Следовательно, всякая фигура Ф , удовлетворяющая условию задачи, должна быть выпуклой.
Задача №1.1.6
Пусть l 1 иl 2 — две параллельные опорные прямые фигуры Ф , расстояние между которыми имеет наибольшее значение; А1 и А2 — граничные точки фигуры Ф , принадлежащие соответственно прямым l 1 иl 2 . Покажем, что отрезок А1 А2 перпендикулярен к обеим прямымl 1 иl 2 . В самом деле, если бы это было не так, то расстояние между прямыми l 1 иl 2 было бы меньше, чем отрезок А1 А2 (рис. 1.1.34), и тем более меньше, чем расстояние между двумя опорными прямыми l 1 ’и l 2 ’ фигуры Ф , перпендикулярными к отрезку А1 А2 ,что противоречит условию (т.к. мы нашли две опорные прямые расстояние между которыми больше расстояния между опорными прямыми l 1 иl 2 ).
Так как А1 и А2 — какие угодно граничные точки фигуры Ф , принадлежащие соответственно прямым l 1 иl 2 , то из перпендикулярности отрезка А1 А2 к прямым l 1 иl 2 следует, что ни одна из прямыхl 1 иl 2 не может иметь с фигурой Ф целый общий отрезок (т. е. случай, изображенный на рис. 1.1.35, невозможен); другими словами, каждая из этих прямых содержит единственную граничную точку фигуры Ф . [8, 143]
Задача №1.1.7
Пусть Ф — выпуклая фигура,l 1 и l 2 — параллельные опорные прямые, расстояние между которыми имеет наибольшее возможное значение d , А1 и А2 — общие точки фигуры Ф и прямых l 1 иl 2 соответственно. Так как отрезок А1 А2 перпендикулярен к прямым l 1 и l 2 (см. задачу 1.1.6), то длина его равна d (рис. 1.1.36). Остается только доказать, что расстояние между любыми двумя точками фигуры Ф не превосходит d . Действительно, если В и С — какие-либо две точки фигуры Ф , а т и п — опорные прямые, перпендикулярные к прямой содержащей отрезок ВС (рис. 1.1.37), то отрезок ВС не превосходит расстояния между прямыми т и п ,которое в свою очередь не превосходит d .Следовательно, длина ВС не может быть больше d .
Задача №1.1.8
Проведем две опорные прямые l и т выпуклой фигуры Ф , перпендикулярные к отрезку АВ .Вся фигура Ф заключе