Министерство Образования Российской Федерации

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Редуцированные полукольца»

Работу выполнил студент

математического факультета

\Подпись\____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

\Подпись\____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук,профессор

.

\Подпись\____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________

Киров , 2003 .

План.

1. Введение.

2. Основные понятия, леммы и предложения.

3. Доказательство основной теоремы.

1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом , если выполняются следующие аксиомы:

1. (S , +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (S , ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

длялюбыхa, b, c Î S;

4. 0a = 0 = a0 длялюбогоa Î S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным , если для любых a , b Î S выполняется a = b , как только a + b = ab + ba .

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, b Î S (D(a) Ç D(b)= Æ Þ = Æ );

3. все идеалы O p , P Î S pec S , первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы O M , M Î Max S , первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S и M Î Max S ;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим , если для любых элементов a , b , b ¢ ,c Î S выполняется

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--