Дипломная работа: Редуцированные полукольца

a b 1

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab , но aa ¹ ba . Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным , если AB ÍP влечёт A ÍP или B ÍP для любых идеалов A и B . Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым , если ab = 0 влечёт a ÎP или b ÎP для "a , b ÎS .

Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a , b Î S \ P найдётся элемент s Î S такой, что asb Ï P . Если S - коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a , b Ï P влечёт ab Ï P .

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a , b ÏP . Тогда главные идеалы (a ) и (b ) не лежат в P , как и их произведение. Значит, некоторый элемент t ÎaSb не принадлежит P , поскольку t = для некоторых u , v , w Î S , то хотя бы для одного i Î {1,…,k } a v b ÏP , ибо в противном случае каждое слагаемое uav b w лежит в P , и следовательно, t ÎP .

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P , но A P . Тогда найдётся a ÎA \ P . Предположим, что B P . Получим, что некоторый элемент b ÎB \ P и по условию asb ÏP для подходящего s ÎS . Но тогда и AB P , и следовательно, P - первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется m - системой , если 0 ÏT , 1 ÎT и для любых a , b ÎT найдётся такой s ÎS , что asb ÎT .

Пример. Рассмотрим множество T = {a , a , a , … , a }, где n Î N и a ¹ 0. Оно является подмножеством полукольца R неотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 ÏT , 1ÎT и для "a ,a ÎT $с = 1ÎS : a с a = a ÎT . Таким образом, T является m - системой.

Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ P является m -системой. И хотя дополнение до m - системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3. Пусть T - m - система, а J - произвольный идеал полукольца S , не пересекающийся с T . Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P ÊJ , P ÇT = Æ и P - максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb ÍP для некоторых a , b ÏP . Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P , и значит, пересекаются с T . Пусть m Î (P +SaS ) ÇT , r Î (P +SbS ) ÇT и msr ÎT для некоторого s ÎS . Но, с другой стороны,

msr Î (P +SaS ) × (P +SbS ) ÍP +SaSbS ÍP .

Получили противоречие, что P пересекается с T . Значит, предположение, что aSb ÎP неверно, и P - первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M ÍA влечёт M = A или A = S для каждого идеала A .

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеалJ и не пересекающуюся с ним m -систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T , значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого a ÎS множество

Ann aS = {t ÎS : ("s ÎS ) ast =0} называется аннулятором элемента a .

Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S .

Ann a ={s ÎS : as = 0} -правыйидеалиAnn aS ÍAnn a .

Определение 10. Для любого идеала P множество O p = {s ÎS : ($t ÏP ) sSt = 0} = {s ÎS : AnnsS P } называется O - компонентой идеала P .

Лемма 1. O p является идеалом для любого первичного идеала P .

Доказательство: Пусть a , b ÎO p . Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t , u ÏP . В силу первичности P tsu ÏP для подходящего s ÎS . Для любого v ÎS

(a + b )vtsu = (avt )su + b (vts )u = 0.

Далее, (as )vt = a (sv )t = 0, (sa )vt = s (avt ) = s 0 = 0, поэтомуa + b , sa, as ÎO p , иO p -идеал.

Лемма 2. Пусть P Í M - первичные идеалы полукольца.

Тогда O M Í O p Í P.