Дипломная работа: Редуцированные полукольца

Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P ¢ симметрического полукольца S верна импликация:

P Ç P ¢ не содержит первичных идеалов Þ O p P ¢ .

Доказательство: Предположим, что O p ÍP ¢. Полагая A = S \ P и B = S \ P ¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A ÈB . Покажем, что AB ÇO p = Æ. В самом деле, если s ÎAB ÇO p , то sb = 0 для некоторогоb ÎA , т.е. {0} ÎAB . Поскольку s является произведением элементов из A ÈB , то в силу первичности идеалов P и P ¢ и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих u ÎB , v ÎA . Откуда u ÎO p P ¢- противоречие.

Таким образом, AB является m -системой, и значит, существует первичный идеал Q , не пересекающийся с AB и содержащий O p . А так как A ÈB ÍAB , то P ÇP ¢ÊQ . Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op P ¢.

Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P ¢ в симметрическом полукольце, если O p Í P ¢ , то пересечение P и P ¢ содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a , b ) = {s ÎS : "x ÎS (axs = bxs )} - идеал полукольца S для "a , b ÎS .Очевидно, (a , 0) = Ann aS .

Для произвольного идеала A обозначим - пересечение первичных идеалов полукольца S , содержащие идеал A .

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным , если для любых элементов a , b ÎS выполняется

= (a , b ).

Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S .

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным , если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS для всех a Î S .

Доказательство: При a = 1 rad S = = Ann S = 0, т.е. S - полупервично.

Пусть S - полупервичное полукольцо и b Î. Для каждого первичного идеала P , либо P содержит Ann aS , либо Ann aS не содержится в P . В первом случае b ÎP , во втором случае a ÎO p ÍP . Тогда aSb rad S = 0, откуда b ÎAnn aS . Следовательно, ÍAnn aS . Другое включение справедливо всегда.

Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.

Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

Доказательство: Пусть c Ï(a , b ) для a , b ÎS . Тогда ac ¹bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcb c¹acbc + bcac . Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac ¹bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac ¹bc , и следовательно, ac ¹bc . По индукции ac ¹bc . Значит, T = {1, c , c ,…} -m -система, не пересекающаяся с (a , b ), и поэтому найдётся первичный идеал P , содержащий (a , b ), при этом c ÎS \ P . Значит, c Ï, откуда Í (a , b ). Другое включение справедливо всегда.

Получили = (a , b )Þ по определению 12 S - строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через S pec S множество всех первичных идеалов полукольца S . Для любого идеала A полукольца S положим

D (A ) = {P ÎS pec S : A P }.

МножествоD ({0}) = {P ÎS pec S : {0}P } = Æ, аS pec S = D (S ).

D (A ) ÇD (B ) = { P ÎS pec S : A P ÙB P } = { P ÎS pec S : AB P } = D (AB ).

S pec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств видаD (A ).

Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S

= {P Î S pec S: Ann A Í P}.

Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P ÎD (A ), т.е. A P , то Ann A ÍP , т.е. P ÎY . Откуда ÍY , ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть P Ï. Тогда P лежит в некоторой окрестности D (B ), где B - некоторый идеал в S , не пересекающийся с.

D (A ) ÇD (B ) = Æ, тогдаAB Írad S = 0, т.е. B ÍAnn A .

Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно, P ÏY . Получили Y Í.