Дипломная работа: Редуцированные полукольца
Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M ÎMax S , то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.
5) Þ 6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b ¹S для некоторых a , b ÎS .
Тогда Ann a + Ann b ÍM для подходящего M ÎMax S .
Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P , содержащийся в M . ТогдаO M ÍP (Лемма 2). Предположим, что $a ÎP \ O M . Степени элемента a образуют m -систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{a } $с = 1ÎS : a с a = a Î{ a }),не пересекающуюся с O M . Действительно, еслиa ÎO M , n ÎN , то ab = 0 для некоторого b ÎS \ M . Но тогда (ab )= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a ÎO M ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢O M , не содержащий a , который будет первичным.
Пустьq, w ÎS \ P иq, w ÎS \ P ¢. Тогда $s ÎS : qsw ÏP Þqsw ÏP ÇP ¢ÞP ÇP ¢-первичный идеал, что противоречит минимальности P . ЗначитP ÍOM и P = OM . Первичный идеалO M псевдопрост, поэтому a ÎO M или b ÎO M . Откуда по определению нуль-компонент Ann a M ÚAnn b M ÞAnn a + Ann b M Þ противоречие ÞAnn a + Ann b = S .
6) Þ 1). Возьмём"a, b ÎS : ab = 0 Þb ÎAnn aS .
Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:
Ann a + Ann b = S . Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a , то Ann aS + Ann b = S . Таким образом, полукольцо S -слабо риккартово, что и требовалось доказать.
2) Û 6). Пустьa, b ÎS иab = 0. D (a ) ÇD (b ) = {P ÎS pec S : a ÏP Ùb ÏP } = { P ÎS pec S : ab ÏP } (всилупервичности) = D (ab ) = D (0) = Æ.
Обратно, D (a ) ÇD (b ) ={P ÎS pec S : a ÏP Ùb ÏP } ={P ÎS pec S : ab ÏP }=D (ab ) =ÆÞab = 0, таккакD (x ) = ÆÛx = 0.
Таким образом, ab = 0 ÛD (a ) ÇD (b ) = Æ.
Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы
= {S ÎS pec S : Ann a ÍP ÙAnn b ÍP } = Æ.
ТогдаAnn a + Ann b M для"M ÎMax S ÍS pec S ÞAnn a + Ann b = S .
Вдругуюсторону, пустьAnn a + Ann b = S ÞAnn a M ÚAnn b M дляподходящегоM ÎMax S ÍS pec S.
Тогда = {S ÎS pec S : Ann a ÍP ÙAnn b ÍP } = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.
Теорема доказана полностью.
C войство:
Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a , b полукольца S выполняется импликация:
ab = 0 и a + b Î A Þ a Î A.
Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b , что ab = 0 и a + bÎA . Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann a + Ann b = S , то есть c + k = 1 при некоторых c ÎAnn a и k ÎAnn b .
c ÎAnn a Þac = 0 (по определению аннулятора).
k ÎAnn b Þbk = 0.
a = a ×1 + 0 = a ×(c + k ) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b )×k = (a + b )×k ÎA .
Получили a ÎA , что и нужно было доказать.
Литература.
1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.
2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.