Дипломная работа: Редуцированные полукольца

Доказательство: Пусть P = O p , P ¢ÎS pec S и P ¢ÍP . Тогда O p ÍO P¢ÍP ¢. Поэтому P ¢= P , и P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S . Предположим, что существует a ÎP \ O p . Степени элемента a образуют m -систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{ a } $с = 1ÎS : a с a = a Î{ a }),не пересекающуюся с O p . Действительно, если a ÎO p , n ÎN , то a b = 0 для некоторого b ÎS \ P . Но тогда (ab )= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то естьa ÎO p ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢O p , не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P ÇP ¢,что противоречит минимальности P . Значит, P ÍO p . Также O p ÍP (Лемма 2). Тогда P = O p .

Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

Доказательство: В самом деле, если a , b ÎS \ P , то asb ÏP для подходящего s ÎS , откуда asb ¹ 0 и ab ¹ 0.

Определение 14. S – слабо риккартово Û"a ÎS "b ÎAnn aS

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0 Î N . Тогда Ann aS = N . В результате получим, что Ann aS + Ann b = N . Теперь возьмём a Î N \ {0}. Тогда Ann aS = {0}, а Ann b = N . В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

3. Доказательство основной теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, b Î S (D(a) Ç D(b)= Æ Þ = Æ );

3. все идеалы O p , P Î S pec S , первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы O M , M Î Max S , первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S и M Î Max S ;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Доказательство: Пусть S - редуцированное полукольцо. Такое S - симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).

1) Þ 3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал O p вполне первичен. ПустьP ÎS pec S иab ÎO p приa, b ÎS.

Тогда$с ÎS \ P : abSc = 0,т.е. absc = 0 для" s ÎS .

Возьмём s = 1 Þabc = 0 Þbc ÎAnn aS (по определению Ann aS ). НоAnn aS ÍAnn a . Тогдаbc ÎAnn a . Поусловию 1) S -слабориккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S дляa ÎS , bc ÎAnn aS .

$e ÎAnn aS , f ÎAnn bc : e + f = 1 (1ÎS).

Предположим, что a ÏO p ÞAnn aS ÍP (по определению Ann aS ) Þe ÎP .

Тогда f ÏP , т.к. в противном случае 1ÎP . Но P - первичный идеал ÞP - собственный Þ 1ÏP .

f ÎAnn bc Þbcf = 0. Т.к. S - симметрическое ÞbScf = 0. Но cf ÏP (т.к. c ÏP , f ÏP , а P - первичный идеал) Þb ÎO p .

Таким образом, получили, что все идеалы O p , P ÎS pec S , вполне первичны.

3) Þ 4). По условию 3 все идеалыO p , где P ÎS pec S , первичны. Но M ÎMax S – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M ÎS pec S . Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы O M , где M ÎS pec S и M ÎMax S , первичны.

Пусть P ÍM . Тогда O M ÍO p (лемма 2).

Если a ÎO p , т.е. ab = 0 при некотором b ÎS \ P и s = 1ÎS , то a ÎO M , ибо b ÏO M ÍP , а ab = 0 ÎO M и O M псевдопрост (доказано выше). Значит и O p ÍO M . Тогда O p = O M .

4) Þ 5). Пусть P – первичный идеал из S иP ÍM . По условию 4) данной теоремы O M – первичный идеал и так как P ÍM ÞO p = O M . Также O p ÍP (Лемма 2). Докажем, что O M – минимальный первичный идеал в S , лежащий в P . Пусть в P лежит Q - минимальный первичный идеал полукольца S . Но Q ÍM ÞO M ÍO Q ÍQ . По условию 4) данной теоремы O M = O Q . . Так как Q – минимальный первичный идеал ÞO Q = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что O p = OM=Q .

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P ¢- произвольный минимальный первичный идеал в S , отличный от Q и лежащий в M . Тогда O P¢= O M (по условию 4)). Также O P¢ = P ¢ .