Дипломная работа: Редуцированные полукольца
Определение 4. Элемент a Î S называется нильпотентным , если в последовательности a , a
, a
,…, a
, … встретится нуль.
Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов .
Доказательство: Пусть ab = ab ¢. Тогда
baba = bab ¢a иb ¢aba = b ¢ab ¢a ,
откуда
baba + b ¢ ab ¢ a = bab ¢ a + b ¢ aba
или иначе
(ba )+ (b ¢a )= bab ¢a + b ¢aba .
В силу редуцированности ba = b¢a , т.е.
ab = ab ¢Þba = b ¢a . (1)
Аналогично доказывается ba = b ¢a Þab = ab ¢.
Пусть ab = ab ¢. Тогда с помощью (1) ba = b ¢a , откуда bac = b ¢ac и acb = acb ¢. Значит, имеем:
ab = ab ¢Þ acb = acb ¢, ba = b ¢a Þbca = b ¢ca. (2)
Пусть сейчас abc = abc ¢. Тогда
abc = ab ¢c Þacbc = acb ¢c Þacbac =acb ¢ac Þacbacb =acb ¢acb и
acbacb ¢= acb ¢acb ¢Þ ( acb ) + ( acb ¢) = acb ¢acb + acbacb ¢Þacb = acb ¢.
Таким же образом доказывается другая импликация.
Пустьa 
+ b 
= ab + ba влечётa = b . Приb = 0 получаемa = 0 Þa = 0. Если с 
= 0 для некоторого натурального n > 2, то c 
= 0 для k ÎN с условием n£ 2
. Получаем, что c 
= 0, и так далее. На некотором шаге получим c = 0, откуда с = 0. Предложение доказано.
Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a , b , 1}, операции в котором заданы следующим образом:
| + | a b 1 |
|
a b 1 |
a b 1 b b b 1 b 1 |
| · | a b 1 |
|
a b 1 |
a a a К-во Просмотров: 227
Бесплатно скачать Дипломная работа: Редуцированные полукольца
|