Дипломная работа: Рішення рівнянь й нерівностей з модулем

Введення

Поняття абсолютної величини (модуля) є однієї з найважливіших характеристик числа як в області дійсних, так і в області комплексних чисел.

Це поняття широко застосовується не тільки в різних розділах шкільного курсу математики, але й у курсах вищої математики, фізики й технічних наук, які вивчають у вузах. Наприклад, у теорії наближених обчислень використовуються поняття абсолютної й відносної погрішностей наближеного числа. У механіку й геометрії вивчаються поняття вектора і його довжини (модуля вектора). У математичному аналізі поняття абсолютної величини числа втримується у визначеннях таких основних понять, як межа, обмежена функція й ін. Задачі, пов'язані з абсолютними величинами, часто зустрічаються на математичних олімпіадах, вступних іспитах у вузи.

Програмою шкільного курсу математики не передбачені узагальнення й систематизація знань про модулі, їхніх властивостях, отриманих учнями за весь період навчання. Даний пробіл і намагається заповнити справжній диплом.

Дипломна робота складається з 5 розділів.

У першому розділі наведені рівносильні визначення модуля, його геометрична інтерпретація, властивості абсолютної величини. На прикладі показано, як використовуючи модуль, будь-яку систему рівнянь і нерівностей з однієї й теж областю визначення можна представити у вигляді одного рівносильного порівняння. Так само показано на прикладі, як лінійний сплайн, представити у вигляді одного рівняння з модулями. Наведені приклади завдань, у яких використовуються або властивості модуля, або рівняння й нерівності, що містять знак абсолютної величини, виникають у процесі рішення.

У другому розділі представлені методи рішення найпростіших рівнянь і нерівностей з модулями, рішення яких не вимагає використання трудомісткого процесу розкриття модулів.

У третьому розділі представлене графічне рішення рівнянь і нерівностей, що містять знак абсолютної величини. Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем у деяких випадках набагато більше просте, чим аналітичне. У цьому розділі розглянута побудова графіків функцій , і . Багато уваги приділено побудові графіків функцій, що представляють собою суму лінійних виражень під знаком абсолютної величини. Так само наведені приклади побудови графіків функцій з ''вкладеними'' модулями. Наведено теореми про екстремумі функцій, що містять суму лінійних виражень під знаками абсолютних величин, що дозволяють ефективно вирішувати задачі як на знаходження екстремумів подібні функції, так і вирішувати задачі з параметрами.

У четвертому розділі представлені додаткові методи рішення рівнянь і нерівностей, що містять знак абсолютної величини. У першу чергу описаний трудомісткий і не завжди раціональний, а в деяких випадках і непридатний метод розкриття модулів, іноді називаний метод інтервалів, за допомогою якого можна вирішити будь-яке рівняння й нерівність з модулем. Описано метод використання тотожності ; розглянутий метод геометричної інтерпретації, використання тотожності , застосування теореми про знаки, метод переходу до наслідку, метод інтервалів, метод домноження на позитивний множник.

У п'ятому розділі наведені приклади рішення типових тестових задач пов'язаних з поняттям абсолютна величина. Наведено рішення як ''стандартних'' задач, у рішенні яких необхідно одержати яку-небудь комбінацію рішень, так і завдань із параметрами. Для деяких задач наведено кілька способів рішення, іноді зазначені типові помилки виникаючі в процесі рішення. Для всіх завдань наведено найбільш ефективне, по швидкості, рішення.

Абсолютна величина і її властивості

Модуль. Властивості модуля

Визначення. Модуль числа або абсолютна величина числа дорівнює , якщо більше або дорівнює нулю й дорівнює , якщо менше нуля:

З визначення треба, що для будь-якого дійсного числа , .

Теорема Абсолютна величина дійсного числа дорівнює більшому із двох чисел або .

1. Якщо число позитивно, то негативно, тобто . Звідси треба, що .

У цьому випадку , тобто збігається з більшим із двох чисел і .

2. Якщо негативно, тоді позитивно й , тобто більшим числом є . По визначенню, у цьому випадку, --- знову, дорівнює більшому із двох чисел і .

Наслідок З теореми треба, що .

Справді, як , так і рівні більшому із чисел і , а виходить, рівні між собою.

Наслідок Для будь-якого дійсного числа справедливі нерівності , .

Множачи другу рівність на (при цьому знак нерівності зміниться на протилежний), ми одержимо наступні нерівності: , справедливі для будь-якого дійсного числа . Поєднуючи останні дві нерівності в одне, одержуємо: .

Теорема Абсолютна величина будь-якого дійсного числа дорівнює арифметичному квадратному кореню з : .

Справді, якщо , те, по визначенню модуля числа, будемо мати . З іншого боку, при , , значить .

Якщо , тоді й і в цьому випадку .

Ця теорема дає можливість при рішенні деяких задач заміняти на .

Геометрично означає відстань на координатній прямій від крапки, що зображує число , до початку відліку.

Якщо , то на координатній прямій існує дві крапки й , рівновіддаленої від нуля, модулі яких рівні.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--