Дипломная работа: Рішення рівнянь й нерівностей з модулем
Відповідь. .
Зупинимося докладніше на рівняннях, у яких зустрічається сума модулів (формули (??)--(??) ).
Теорема Сума модулів дорівнює алгебраїчній сумі підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли кожна величина має той знак, з яким вона входить в алгебраїчну суму.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Тому що , те ми маємо рівність виду , де , . Тому вихідне рівняння рівносильне системі:
Відповідь. .
Теорема Сума модулів дорівнює модулю алгебраїчної суми підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли всі величини мають той знак, з яким вони входять в алгебраїчну суму, або всі величини мають протилежний знак одночасно.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. ''Заганяємо'' коефіцієнти 2 і 5 під знак модуля й ''ізолюємо'' суму модулів:
По константах одержуємо . Дійсно, , тобто рівняння має вигляд . Отже, рівняння рівносильне сукупності двох систем:
тобто .
Відповідь. .
До найпростішого (не обов'язково простим) нерівностям ми будемо відносити нерівності, розв'язувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:
(??)
(??)
Приклади рішення найпростіших нерівностей.
Приклад Вирішимо нерівність .
Рішення.
.
Відповідь. .
Приклад Вирішимо нерівність
.
Рішення.