Дипломная работа: Символ "О" - асимптотический анализ

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и ) .

Таким образом, x = и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и ) - этот четвертое асимптотическое приближение корня.

Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений с ошибками, асимптотический порядок которых постоянно убывает. Сходимость этой последовательности при неограниченном возрастании числа шагов на основе проведенных рассуждений увидеть трудно, но численные возможности этого процесса можно оценить, взяв, например, и = 5:

1) х = 5;

2) х = и – 1 + О (1) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О (1))

3) x = и – 1 + О(е^-2и ) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О (е^-2и ))

4) x = и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и ) = 5 – 1 + 0,000670925… = 4,000670925... (не учитываем ошибку О (е^-4и ))

Точное значение, полученное стандартными численными методами, равно 4,0006698…

Пример 2.

Найдем большие положительные корни уравнения

x tg x = 1

Это уравнение можно обратить следующим образом:

,

где n – целое число, а арктангенс принимает значения в интервале , находим, что x ~ n p при ( n → ¥).

Если x > 1, то [6]

1). По теореме (2.1.2) .

.

2).

По теореме (2.1.2) . Тогда .

.

3).

По теореме (2.1.2) . Тогда .

.

И так далее.

§2. Асимптотическое решение интегралов

Пример 1. Вычислить при х > 1.

Разложим в ряд [6]:

По теореме (2.1.2) , т.е. .

Пример 2. Вычислить при e ®+0, , А(х) - ступенчатая функция: А(х) = 0 при х < 0, А(х) = А _k , k £x < k + 1,
А _k = а ₁ + а ₂ +…+ а _k , а _k = k ^-1 . Причем .

Воспользуемся асимптотической формулой [4]

,