Дипломная работа: Система сканирования и стабилизации изображения

Рис.2.3 Схема, поясняющая взаимодействие трех систем координат: географической, центра масс самолета и самолетной

Заданную угловую ориентацию самолёта относительно осей полусвязанной неподвижной системы координат можно получить, выполнив три последовательных поворота, которые следует проводить в предположении, что в начальный момент углового движения самолёта координатные оси OX_g Y_g Z_g и OXYZ совпадают.

Первый поворот на угол ψ осуществим относительно оси OY_g (в начальный момент времени с ней совпадает ось OY). При этом оси OX и OZ, оставаясь в плоскости OX_g Z_g , займут некоторое промежуточное положение OX' и OZ'.

Пусть - направляющие орты полусвязанной неподвижной системы координат OX_g Y_g Z_g ; - направляющие орты промежуточной системы координат OX'Y_g Z'.

Направляющие орты связаны с ортами следующими соотношениями:

(1)

Это координатное преобразование задается с помощью так называемой матрицы направляющих косинусов, которая в данном случае имеет вид

(2)

Другая (векторно-матричная) форма записи системы равенств(1)

. .

Второй поворот осей координат произведем относительно оси OZ' на угол θ. В результате чего координатные оси OX' и OY_g займут положение OX'' и OY''. Направляющие орты второй промежуточной системы координат OX''Y''Z' связаны с ортами следующими равенствами

(3)

Здесь матрица направляющих косинусов имеет вид

(4)

и тогда уравнения (3) можно переписать в векторно - матричной форме

Третий поворот координатных осей осуществим относительно оси OX'' на угол γ. При этом ось OY'' займет положение OY, а ось OZ' - OZ, ось OX'' совпадет с осью OX. Орты связанной системы координат определяются через орты промежуточной системы координат OX''Y''Z' с помощью равенств

(5)

Матрица направляющих косинусов третьего поворота координатной системы в соответствии с (5) будет

(6)

а уравнения (5) в векторно - матричной форме записи перепишутся следующим образом

.

С учетом полученных выше равенств последовательно получаем,

где - это матрица преобразований векторных величин, заданных в полусвязанной неподвижной системе координат OX_g Y_g Z_g , в векторные величины в связанной системе координат OXYZ. Непосредственное вычисление матрицы Aдает следующий результат

Здесь следует отметить, что матрица Aявляется ортогональной, т. е. .

2. Математическая модель