Дипломная работа: Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп

- індекс підгрупи в групі ;

;

- ядро підгрупи в групі , тобто перетинання всіх підгруп, сполучених з в ;

- підгрупа, породжена всіма підгрупами, сполученими з підгрупою з елементами з , тобто ;

- централізатор підгрупи в групі ;

- нормалізатор підгрупи в групі ;

- центр групи ;

- циклічна група порядку ;

- симетрична група ступеня ;

- знакозмінна група ступеня .

Якщо й - підгрупи групи , то:

- прямий добуток підгруп і ;

- напівпрямий добуток нормальної підгрупи й підгрупи ;

- і ізоморфні.

Дужки застосовуються для позначення підгруп, породжених деякою множиною елементів або підгруп.

- підгрупа, породжена всіма , для яких виконується .

Групу називають:

- замкнутої, якщо ;

- нильпотентною, якщо ;

- розкладеної, якщо й нормальні в.

Ряд підгруп називається:

субнормальним, якщо для кожного ;

нормальним, якщо для кожного ;

головним, якщо для всіх .

Введення

Відомо, що кінцеві розв'язні групи можна охарактеризувати як кінцеві групи, у яких доповнені всі силовські підгрупи. Ця теорема Ф. Холу [12] з'явилася джерелом розвитку одного з напрямків теорії груп, що складає в дослідженні будови груп з виділеними системами підгруп, що доповнюються. Як відзначає у своїй монографії С.Н. Черников [10,с.11]: "Вивчення груп з досить широкою системою підгруп, що доповнюються, збагатило теорію груп багатьма важливими результатами". До теперішнього часу виділені й повністю вивчені багато нових класів груп. При цьому намітилася тенденція до узагальнень як самого поняття доповнюється по способу виділення системи підгруп, що доповнюються. Системи підгруп, що доповнюються, виділялися, наприклад, за допомогою таких понять як примарність, абелевість, циклічність, нормальність і інші властивості кінцевих груп і їхніх комбінацій, а замість доповнюваності розглядалися - доповнюваність (якщо перетинання підгрупи з додаванням циклічне), - щільність (якщо для будь-яких двох підгруп підгруп групи , з яких перша не максимальна в другий, в існує що доповнюється (абелева) підгрупа, що строго втримується між ними), і ін. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [10].

Подібна тематика досліджується й у теорії формацій. У роботах В.А. Ведерникова [5,6], Го Вень Биня [11], А.Н. Скиби [7], Л.А. Шеметкова [8] і інших авторів досліджувалися формації із системами що доповнюються підформацією. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [9].

Однак умова існування доповнень до окремих підгруп є досить сильним обмеженням. Далеко не всі підгрупи мають доповнення. Разом з тим кожна підгрупа має мінімальне додавання. Тому для дослідження будови кінцевих груп із системами підгруп, що додаються, необхідно вводити додаткові обмеження на мінімальні додавання.

У дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентною довжини кінцевої розв'язної групи. Метою дипломної роботи є дослідження величини нильпотентною довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з извесними додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентною довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.