Дипломная работа: Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп

Отже, і - доповнення до в.

Теорема 1.5. Факторгрупа є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи .

Proof. Припустимо спочатку, що й позначимо через підгрупу Фиттинга По теоремі 4.6 комутант Але значить по теоремі 4.7, с. 35. Тому й абелева. Нехай - прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи найбільшого порядку. Тоді й по теоремі 1.4 існує підгрупа така, що По тотожності Дедекинда Але абелева, тому а тому що , те На вибір перетинання й

Нехай тепер і По лемі 1.2(2) Тому що те для твердження вже доведене.

Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп.

Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Proof. Нехай

По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа нормальна в. Якщо

головний ряд групи , те

нормальний ряд групи . Тому що підгрупа втримується в кожній підгрупі , те

для . По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа нильпотентна, тому .

Перевіримо зворотне включення. Нехай - головний фактор групи . Тому що

те по лемі 4.11, с. 35, або

або

У першому випадку , тому

У другому випадку з нильпотентності підгрупи по лемі 1.2 одержуємо, що

Знову . Таким чином, і .

Лема 1.8. .

Proof. Нехай . Ясно, що й . Тому що

те й ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи . Тому