Дипломная работа: Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп
(3) 
.
Proof. (1) Нехай 
і 
- нильпотентние нормальні підгрупи групи 
й нехай 
і 
- силовські 
-підгрупи з і . Тому що 
, а 
, те 
по лемі 4.1, с. 35. Аналогічно, 
, тому 
. Ясно, 
- -група. Покажемо, що вона силовська в. 
Для цього обчислимо її індекс:
Тому що чисельник не ділиться на , те - силовська -підгрупа групи . Отже, добуток двох нормальних нильпотентних підгруп є нормальна нильпотентна підгрупа. Тому 
- найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи .
(2) Ясно, що 
для всіх , тому
Обернено, якщо 
- силовська -підгрупа групи , те 
й нормальна в , тому 
й
(3) Якщо 
, те 
й 
нильпотентна, тому 
по (1) і 
.
Лема 1.2. (1) 
; якщо розв'язно й 
, те 
;
(2) 
(3) якщо 
, те 
; якщо, крім того, 
абелева, те 
Proof. (1) Оскільки підгрупа Фратіні 
- нильпотентна нормальна підгрупа групи , те . Нехай - розв'язна неодинична група. Тоді 
розв'язна й неодинична. Нехай
Тому що 
- -група для деякого простого , то по наслідку 4.2, с. 35, підгрупа 
нильпотентна й 
. Отже, 
.
(2) Якщо 
, те - нильпотентна нормальна в підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому 
й
Зворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.
(3) Для мінімальної нормальної підгрупи або 
, або 
. Якщо , то
Якщо , то - елементарна абелева -група для деякого простого . Тому що 
, те 
. З іншого боку, 
по теоремі 4.4, с. 35, тому 
.
Теорема 1.3. 
для кожного 
. Зокрема, якщо розв'язно, те 
Proof. Нехай 
, 
. Тому що 
по лемі 4.5, с. 35, те 
. Припустимо, що 
для деякого й нехай
Ясно, що 
й 
Нехай - силовська -підгрупа групи 
. Тому що
-група, те
, а оскільки 
, те 
й 
. Тепер, - нильпотентна нормальна підгрупа групи й 
. Таким чином, 
і перше твердження доведене. Якщо розв'язно, то 
розв'язно, тому 
й 
.
Говорять, що підгрупа групи доповнюємо в , якщо існує така підгрупа , що 
й 
. У цьому випадку підгрупу називають доповненням до підгрупи в групі 
Теорема 1.4. Якщо - нильпотентна нормальна підгрупа групи й 
, те дополняема в.
Proof. За умовою 
а по теоремі 4.6, с. 35, комутант 
. По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні 
а за умовою 
Тому 
й абелева. Нехай 
- додавання до в. По лемі 4.8, с. 35, 
Оскільки 
й 
те 
й по теоремі 4.7, с. 35,