Дипломная работа: Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп

У першому розділі "Підгрупа Фиттинга і її властивості" вивчені властивості підгрупи Фиттинга.

Визначення. Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи називають підгрупою Фиттинга групи й позначають через .

Визначення. Нильпотентною довжиною розв'язної групи називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи позначають через .

На основі підгрупи Фиттинга вводиться наступна

Теорема А. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Також розглядається доказ теореми К. Дерка.

Теорема B. Якщо - максимальна підгрупа розв'язної групи , те, де .

Доведено теорему Монахова В.С.

Визначення. Підгрупа групи називається максимальною підгрупою, якщо не втримується ні в якій іншій підгрупі, відмінної від .

Визначення. Підгрупою Фратіні групи називається перетинання всіх її максимальних підгруп. Підгрупа Фратіні групи позначається через .

Теорема C. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентної групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

У другому розділі " - довжина - розв'язної групи" дані наступні визначення.Визначення. Нехай - просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона - розв'язна для всіх простих . Ясно, що група -розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд

у якому кожна факторгрупа є або -групою, або -групою.

Визначення. Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи й позначимо його , або, якщо необхідно, .-довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду

Доводиться

Теорема D. Якщо - -розв'язна група, де - непарне просте число, то

(i)

(ii) якщо не є простим числом Ферма, і , якщо - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

У главі "Група з нильпотентними додаваннями до підгруп" доведена важлива теорема.

Визначення. Група називається - сверхразрешимою, якщо її головні фактори або -групи, або мають прості порядки. -Сверхразрешимой називають групу, у якої фактори головного ряду або мають порядок , або є -групами. Група, у якої всі фактори головного ряду мають прості порядки, називається сверхразрешимой.

Теорема E. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимим підгруп ізоморфна або , де - нильпотентна група, а й - прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі, ізоморфна або , де - - група, або , де - -група.

1. Підгрупа Фиттинга і її властивості

Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи називають підгрупою Фиттинга групи й позначають через . Множина простих дільників порядку групи позначається через а найбільшу нормальну -підгрупу групи - через .

Лема 1.1. (1) - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи ;