Книга: Числовые ряды

называется рядом геометрической прогрессии .

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где – сумма первых членов ряда, которая называется n -й частичной суммой , т. е.

,

,

,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Определение 1.2 . Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.

В этом случае число называется суммой ряда (1.1) и пишется

.

Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела .

Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.4. Доказать, что ряд

сходится, и найти его сумму.

Найдем n - ю частичную сумму данного ряда .

Общий член ряда представим в виде .

Тогда

Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:

Пример 1.5 . Исследовать на сходимость ряд

(1.6)

Для этого ряда