Книга: Числовые ряды

Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд

(1.7)

Для этого ряда

В этом случае предел последовательности частичных сумм не существует, и ряд расходится.

Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):

Нетрудно показать, что n -я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при задается формулой

.

Рассмотрим случаи:

1) Тогда и .

Следовательно, ряд сходится и его сумма равна

2) .

Тогда и .

Следовательно, ряд расходится.

3) или Тогда исходный ряд имеет вид (1.6) или (1.7) соответственно, которые расходятся. Окончательно имеем

(1.8)

Пример 1.8. Найти сумму ряда

Очевидно, что данный ряд является рядом геометрической прогрессии. В нашем случае . Тогда из формулы (1.8) следует

.

Исследование на сходимость гармонического ряда (1.2) и обобщенного гармонического ряда (1.3) будет проведено в следующем разделе.

2. Основные свойства числовых рядов

Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман* , меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)

Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:

С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице: