Книга: Числовые ряды

Члены данного ряда положительны и больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда

т. к.

Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.

Теорема 3.2. (Предельный признак Даламбера[*] ).

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Замечание : Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда

Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд

.

Применим предельный признак Даламбера.

В нашем случае .

Тогда

Следовательно, исходный ряд сходится.

Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак Даламбера:

Следовательно, исходный ряд сходится.

Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак Даламбера: