Книга: Р.Т. Галусарьян. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика

или n ! (эн-факториал) и вычисляется по формуле:

n ! =. (1.1)

2. Число размещений (без повторений) из n элементов по к

равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно n :

, (1.2)

или . (1.3)

3. Число сочетаний из n элементов по к ( ) определяется по формуле:

(1.4)

или (1.5)

Из формулы (1.5) следует . (1.6)

4. Размещения с повторениями

Пусть из множества Х , состоящего из n элементов, надо составить строку из к элементов, причем каждый элемент в строке может быть любым элементом из х , т.е. в строке элементы могут повторяться.

Общее число всех таких строк есть число размещений из n по k с повторениями: А( n, k ) = n^k . (1.7)

В рассмотренном случае каждый элемент строки может принимать n значений. Если в строке элемент может принимать значений, элемент может принимать значений, то количество всех таких строк определяют по формуле:

. (1.8)

5. Размещения данного состава

Размещением данного состава из элементов

множества называется всякая строка длиной , составленная из элементов множества X так, что элемент повторяется раз, элемент повторяется раз , ..., элемент повторяется раз .

Например, если то есть

один из вариантов состава

Число различных размещений состава определяется по формуле:

. (1.9)

2. Бином Ньютона

Формула бинома Ньютона позволяет любой двучлен (бином) возвести в натуральную степень. Эта формула имеет вид:

(1.10)

или сокращенно

В разложении бинома n + 1 членов. Так как , то

коэффициенты членов разложения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой. При получаем формулу для суммы биномиальных коэффициентов:

(1.11)