Книга: Введение в математический анализ

y = arccosecx .

Если y является функцией от u , а u есть функция от x , то y также зависит от x . Пусть y = F(u ), u = φ(x ). Тогда y = F(φ(x )). Последняя функция называется функцией от функции , или сложной функцией. Например, y = sinu , u = . Функция y = sin () есть сложная функция от x .

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f ( x ) , где выражение f ( x ) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Например, y = ׀x ׀ = ; ; .

Пример 1 . Найти , если .

Решение . Найдём значения данной функции при x = a и x = b :

,.

Тогда получим

Пример 2 . Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:

а) б) ; в) ;

г) .

Решение . а) Так как , то

т.е. f (– x ) = – f ( x ). Следовательно, функция нечётная.

б) Имеем , т.е.

f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

в) Здесь ,т.е.

f (– x ) = f ( x ). Следовательно, функция чётная.

г) Здесь . Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Пример 3 . Найти область определения функции .

Решение . Функция определена, если 2x – 1 ≠ 0, т.е. если . Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов:

Пример 4 . Найти область определения функции .

Решение . Функция определена, если x – 1 ≠ 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ≠ 1 и x > – 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: ( – 1, 1) и (1, + ∞).

Пример 5. Найти область определения функции

Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 –2x ≥ 0, а второе при . Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем

Следовательно, областью определения будет сегмент

.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

При построении графиков функций применяются следующие приёмы:

а) построение «по точкам»;