Книга: Введение в математический анализ

в) преобразования графиков (сдвиг, растяжение).

Исходя из графика функции y = f ( x ) , можно построить графики функций:

1) y = f (x – a ) – первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Оx на величину a ;

2) y = f (x ) + b – тот же график, сдвинутый вдоль оси Oy на величину b ;

3) y = A · f (x ) – исходный график, растянутый в A раз вдоль оси Oy;

4) y = f (kx ) – тот же график, сжатый в k раз вдоль оси Ox.

Таким образом, можно по графику функции y = f (x ) построить график функции вида .

Рис. 1

Пример 6 . Построить график функции y = 2x + 1 + cosx .

Решение . График данной функции можно построить путём сложения графиков двух функций: y = 2x + 1, y = cosx . График первой функции есть прямая, её можно построить по двум точкам, график второй функции–косинусоида(Рис. 1).

Пример 7 . Построить график функции

Решение . При x < 3 графиком является луч прямой, а при x ≥ 3 – ветвь параболы. Искомый график изображен на рис. 2.

Рис. 2

Пример 8 . Построить график функции y = 2 sin (2x – 1) или

Решение . Здесь Исходный график y = sinx. Затем строим график функции y = sin 2x путём сжатия вдоль оси абсцисс в два раза. После этого строим график функции путём сдвига вправо и, наконец, искомый график функции y = 2 sin (2x – 1) путём растяжения вдоль оси ординат графика (3) в два раза (рис. 3).

Рис.3

ПРЕДЕЛЫ

Число а называется пределом последовательности если для всякого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такое положительное число N, что при n > N.

Число A называется пределом функции f(x) при x → a , если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что ׀f ( x ) – A׀ < ε при
.

где M – произвольное положительное число .

В этом случае функция f ( x ) называется бесконечно большой величиной при x → a .

величиной при x → a .

Если x < a и x → a , то условно пишут x → a – 0; если x > a и x → a , то пишут x → a + 0.