Книга: Введение в математический анализ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Функция f(x) называется непрерывной в точке а , если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а ; 2) существует ; 3) этот предел равен значению функции в точке а , т.е.

Обозначая (приращение аргумента) и (приращение функции), можно условие непрерывности записать так:

тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области .

Точка а , принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва , если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если существуют конечные пределы:

причём не все три числа равны между собой, то а называется точкой разрыва I рода .

В частности, если левый и правый пределы функции в точке а равны между собой: , но не равны , то а называется устранимой точкой разрыва .

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода . В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.

Пример 26 .

Решение . Находим

Таким образом, функция при не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, является точкой разрыва II рода (рис. 4).

Пример 27 .

Решение .

Итак, при функция имеет левый и правый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, является точкой разрыва I рода.

Рис. 4 Рис. 5

Разность между правым и левым пределом в точке разрыва I рода