Книга: Введение в математический анализ

делом функции f (x ) в точке a .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

4)

5) при ()

Используются также первый и второй замечательные пределы:

1)

2)

Логарифм числа x по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается lnx .

При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:

Пример 9 . Показать, что при n →∞ последовательность имеет пределом число 2.

Решение . Здесь n –й член последовательности . Следовательно, . Зададим заранее положительное число ε. Выберем n настолько большим, что будет выполняться неравенство 1/n < ε. Для этого достаточно принять n > 1/ε. При таком выборе n будем иметь . Следовательно, .

Пример 10 . Показать, что при n → ∞ последовательность 7/3, 10/5,

13/7, . . . , (3n + 4) /(2n + 1), . . . имеет пределом число 3/2.

Решение . Здесь 3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) – 3/2 = 5/ . Определим, при каком значении n выполняется неравенство

5/ ; так как 2(2n + 1) > 5/ε, то n > 5/4ε – 1/2.

Положив ε = 0,1, заключаем, что неравенство выполняется при n > 12 (например, при n = 13).

Неравенство выполняется при n > 124,5 (например, при n = 125).

Неравенство выполняется при n > 1249,5 (например, при n = 1250).

Пример 11 .