Контрольная работа: 10 способов решения квадратных уравнений
Разложим левую часть на множители:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0 .
2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0 .
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32 , так как
х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х - 7 = 0 ,
прибавляя к ней и вычитая 32 . Имеем:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.
3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах2 + b х + с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а2 х2 + 4а b х + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах • b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,
