Контрольная работа: 10 способов решения квадратных уравнений
и N (1/2; 0) . Прямая и парабола пересекаются в точке А с
абсциссой х = 1 . Ответ: х = 1.
3) Решим графически уравнение х2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4).
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х - 5 . Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 5 . Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Уравнение х2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.
8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).
Допустим, что искомая окружность пересекает ось
абсцисс в точках В(х1 ; 0 ) и D (х2 ; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + b х + с = 0 , и проходит через точки
А(0; 1) и С(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC , откуда OC = OB • OD / OA = х1 х2 / 1 = c / a .
Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому
Итак:
1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;
2) проведем окружность с радиусом SA ;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра ( AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1 ; 0) и D (х2 ; 0) , где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 .
2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1 ; 0) , где х1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.
