Контрольная работа: 10 способов решения квадратных уравнений

Например,

x ² + 4 x – 5 = 0; x ₁ = - 5 иx ₂ = 1, так какq = - 5 < 0 иp = 4 > 0;

x ² – 8 x – 9 = 0; x ₁ = 9 иx ₂ = - 1, так какq = - 9 < 0 иp = - 8 < 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а² х² + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

х₁ = у₁ /а и х₁ = у₂ /а .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у² – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у₁ = 5 х₁ = 5/2 x ₁ = 2,5

у₂ = 6 x ₂ = 6/2 x ₂ = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах² + b х + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1,

х₂ = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x ² + b / a • x + c / a = 0.