Контрольная работа: 10 способов решения квадратных уравнений
а) Решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4 ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, два разных корня;
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
b 2 - 4 ac >0 , уравнение ах2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.
б) Решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4 ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4 ac = 0 , то уравнение
ах2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,
в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4 ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.
Данное уравнение корней не имеет.
Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4 ac < 0 ,
уравнение ах2 + b х + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.
4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x 1 x 2 = q ,
x 1 + x 2 = - p
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.
Например,
x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 иx 2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = - 3 < 0;
x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 иx 2 = - 1, так какq = 7 > 0 иp = 8 > 0.