Контрольная работа: Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда
ЗАДАЧА 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
|
Корма Питат. вещества | Количество питательных веществ в 1 кг корма | |
| 1 | 2 | |
|
А В |
2 2 |
1 4 |
| Цена 1 кг корма, т.руб. | 0,2 | 0,3 |
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим виды кормов через х 1 и х 2 . Целевой функцией задачи является общая стоимость кормов, затраченных на кормление животных, которая должна быть наименьшей. Число ограничений задачи равно числу питательных веществ, входящих в состав кормов - 2. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены кормов, содержание питательных веществ в них можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:
Строим область допустимых решений задачи (см. рис.1 ).
Область допустимых решений задачи
Строим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям 0,2 (1; 1,5), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами (0; 0). Перпендикулярно вектору-градиенту строится прямая, которая характеризует поведение целевой функции:
Для определения положения точки минимума целевой функции прямая, перпендикулярная вектору-градиенту, смещается в его направлении до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой минимума.
В нашей задаче - это точка В , образованная пересечением граничных прямых ограничений I и II . Ее координаты определяются решением системы
уравнений этих прямых:
откуда x 1 *=2;x 2 *=2 и 
.
Таким образом, чтобы достичь минимальных затрат, следует расходовать ежедневно на одного животного по 2 кг каждого вида корма при затратах в 1 тыс. руб.
Решение данной задачи линейного программирования на максимум лишено экономического смысла, так как затраты на корм стремятся уменьшить. Однако математически эта задача имеет решение и на максимум: наибольшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно
.
|
рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования
ЗАДАЧА 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--