Контрольная работа: Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда
;
;
Критические значения d ‑статистики для a=0,05 и n =9 составляют: d 1 =0,82; d 2 =1,32. Так как выполняется условие
,
то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 4 ):
.
Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
Критическое значение коэффициента автокорреляции для a=0,05 и n =9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю: 
(определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ »; см. прил. 4 ). Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R /S -критерия, определяемого по формуле
,
где e max ; e min - наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС » и «МИН »); 
- стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН »; см. прил. 4 ).
Критические границы R / S -критерия для a=0,05 и n =9 имеют значения: (R /S )1 =2,7 и (R /S )2 =3,7. Так как R /S -критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна.
Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.
Оценим адекватность построенной модели Брауна: 
с параметром сглаживания 
(см. таблица 2 ):
Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна
| Проверяемое свойство | Используемые статистики | Граница | Вывод | ||
| наименование | значение | нижняя | верхняя | ||
| Независимость |
d –критерий Дарбина-Уотсона r (1) -коэффициент автокорреляции |
d =2,79
-0,44 | 0,82 |
1,32 0,666 |
Нельзя сделать вывод по этому критерию r (1) <0,666 адекватна |
| Случайность | Критерий пиков (поворотных точек) | 6>2 | 2 | адекватна | |
| Нормальность | RS-критерий | R/S= | 2,7 | 3,7 | неадекватна |
| Мат.ожидание≈0 | t-статистика Стьюдента |   | 2,306 | адекватна | |
| Вывод: модель статистически неадекватна | |||||
5. Оценим точность линейной модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:
%