Контрольная работа: Балансовый метод планирования

х_ij = а_ij х_i (i, j = 1, …, n). (1.2)

Коэффициенты а_ij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

Подставляя соотношения (1.2) в уравнение баланса (1.1), получаем систему n линейных уравнений относительно переменных х₁ , х₂ ,…, х_n :

х₁ = а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + … а_1n х_n + у₁ ,

х₂ = а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + … а_2n х_n + у₂ ,

…………………………………..

х_n = а_n1 х₁ + а_n2 х₂ + … а_nn х_n + у_n ,

или, в матричной записи,

х = Ах + у, (1.3)

где а₁₁ а₁₂ … а_1n х ₁ у₁

А = а₂₁ а₂₂ … а_2n , х = х ₂ , у = у₂ .

……………. … …

а_n1 а_n2 … а_nn х_n у_n

Вектор х называется вектором валового выпуска, вектор у – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.

2.2 Продуктивные модели Леонтьева

Определение. Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора у ≥ 0 существует решение х ≥ 0 уравнения

х = Ах + у (2.4)

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое конечное потребление у можно обеспечить при подходящем валовом выпуске х.

Уравнение Леонтьева (2.4) можно записать следующим образом:

(Е – А)х = у, (2.5)

где Е – единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е – А. Понятно, что если обратная матрица (Е – А)^-1 существует, то из (2.5) вытекает

х = (Е – А)^-1 у. (2.6)

Теорема 1 (первый критерий продуктивности).

Матрица А ≥ 0 продуктивна только тогда, когда матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна.

Доказательство.

Если матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица А продуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:

(Е – А)х = е₁ , (Е – А)х = е₂ , …, (Е – А)х = е_n ,

Где е₁ , е₂ , …, е_n – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) с₁ ≥ 0, с₂ ≥ 0, …, с_n ≥ 0, что