Контрольная работа: Балансовый метод планирования

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с₁ с ₂ , …, с _n . Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:

(Е – А)С = Е.

Следовательно, матрица Е-А имеет обратную С, причем С ≥ 0.

Теорема доказана.

Теорема 2 (второй критерий продуктивности).

Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.

Доказательство.

Пусть неотрицательная матрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение х ≥ 0 уравнения (2.4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса р^Т _А и учитывая, что

р^Т _А А = λ_А р^Т _А , (2.8)

получим

λ _А (р^Т _А х) + р^Т _А у = р^Т _А х,

или

(1 – λ_А )(р^Т _А х) = р^Т _А у.

Так как р^Т _А ≥ 0 и у ≥ 0, х ≥ 0, то р^Т _А у > 0, р^Т _А х > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что λ_А < 1.

Обратно, пусть неотрицательная матрица А имеет число Фробениуса λ_А < 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4) существует решение х ≥ 0.

Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):

а₁₁ а₁₂ … а_1n у₁

а₂₁ а₂₂ … а_2n у₂

А = …………….

а_n1 а_n2 … а_nn у_n

0 0 … 0 1

Где а_ij – элементы матрицы А и у₁ , …, у_n – координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:

А = А у

0 1

Умножая эту матрицу слева на вектор р^Т = (0, …, 0,1), легко убедиться, что

р^Т А = р^Т .

Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является вектор λ = 1.

Пусть вектор Х = (х₁ , …, х_n , х_n+1 ) = (х , х_n+1 ) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = λХ. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что

А у х = λ х