Контрольная работа: Экстремумы функции

Во многих областях науки и в практической деятельности часто приходится сталкиваться с задачами поиска экстремума функции. Дело в том, что многие технические, экономические и т.д. процессы моделируются функцией или несколькими функциями, зависящими от переменных – факторов, влияющих на состояние моделируемого явления. Требуется найти экстремумы таких функций для того, чтобы определить оптимальное (рациональное) состояние, управление процессом. Так в экономике, часто решаются задачи минимизации издержек или максимизации прибыли – микроэкономическая задача фирмы. В этой работе мы не рассматриваем вопросы моделирования, а рассматриваем только алгоритмы поиска экстремумов функций в простейшем варианте, когда на переменные не накладываются ограничения (безусловная оптимизация), и экстремум ищется только для одной целевой функции.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x) , изображенной на рисунке. Значение функции в точке x ₁ будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x ₁ . В этом случае говорят, что функция имеет в точке x ₁ максимум. В точке x ₃ функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x ₂ , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x ₂ минимум. Аналогично для точки x ₄ .

Функция y=f(x) в точке x ₀ имеет максимум , если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x ₀ , т.е. если существует такая окрестность точки x ₀ , что для всех x ≠x ₀ , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) <f(x ₀ ) .

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x ₀ , если существует такая окрестность точки x ₀ , что для всех x ≠x ₀ , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) >f(x₀ .

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x ₁ имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x ₁ . В частности, f (x ₁ ) < f (x ₄ ) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x ₀ экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство . Пусть для определенности в точке x ₀ функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x ₀ + Δx)<f(x ₀ ) , т.е. Но тогда

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx → 0 и учитывая, что производная f '(x ₀ ) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f' (x ₀ ) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f' (x ₀ ) ≤ 0. Так как f ' (x ₀ ) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f ' (x ₀ ) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

Примеры.

y =|x |.

Функция не имеет производной в точке x =0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y (0)=0, а при всех x ≠ 0y > 0.

Функция не имеет производной при x =0, так как обращается в бесконечность приx =0. Но в этой точке функция имеет максимум.

Функция не имеет производной при x =0, так как при x →0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x) =0 и при x <0f(x) <0, а при x >0f(x) >0.

Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако, если в некоторой точке x ₀ мы знаем, что f '(x ₀ ) =0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x ₀ функция имеет экстремум.

Например.

.

Но точка x =0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox , а справа выше.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--