Контрольная работа: Экстремумы функции

Следовательно, .

.

Найдем критические точки функции S: S ' = 0, т.е.

Покажем, что при найденном значении h функция S_бок достигает минимума.

.

Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R .

Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота.

Нам нужно максимизировать объем цилиндра .

Используя условие задачи, найдем связь между r и h . По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что . Отсюда

.

, по смыслу задачи 0≤h ≤2R .

.

Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.

Условный экстремум функции нескольких переменных

Часто приходится решать задачу о нахождении экстремума функции нескольких переменных при наличии некоторых дополнительных условий.

Примеры: 1) Найти длины сторон прямоугольника, имеющего наибольшую площадь S = ху при заданной величине его периметра Р = 2х + 2у.

2) Решить ту же задачу при условии, что х - у > а, а = const.

Задача 1) имеет дополнительное условие в виде равенства, а задача 2) еще имеет условие в виде неравенства. Мы будем рассматривать задачи вида 1), которые называются задачами на условный экстремум. Задачи вида 2) называются задачами линейного (нелинейного, динамического) программирования и рассматриваются в специальных курсах.

Для функции двух переменных имеем:

О: Пусть z =(х, у) определена на множестве D. Пусть также LD — подмножество, заданное условием F(x, у) = 0. Точка называется точкой условного максимума (минимума) для(х, у), если> 0 такое, что вдля выполнено

Условные максимум и минимум называются условными экстремумами.

Для функции двух переменных задачу о нахождении точек условного экстремума решают одним из следующих двух способов.

1. Если это возможно, из уравнения связи F(x, у) = 0 находят и затем подставляют в функцию z=(x, у). В результате

становится функцией одной переменной х, для которой задача решается известными методами.

В противном случае для нахождения точек экстремума применяется метод множителей Лагранжа , который заключается в следующем.

2. Составляют функцию Лагранжа