Контрольная работа: Экстремумы функции

x₁ = a+(1-t)(b-a) x₂ = a+t(b-a)

Алгоритм метода золотого сечения.

Ввести a, b, e-точность вычисления, t=(Ö5-1)/2

Вычислить:

x₁ =b – (b-a)t; x₂ =a + (b-a)t

Вычислить: y₁ = f(x₁ ); y₂ = f(x₂ )

если y₁ £y₂ , то для дальнейшего деления оставляют интервал [a, x₂ ]

и выполняют следующее:

b: = x₂ ; x₂ : = x₁ ; y₂ : = y₁ ; x₁ := b-(b-a)t y₁ := f(x₁ )

в противном случае (если y₁ > y₂ ), для дальнейшего деления оставляют интервал [x₁ , b] и выполняют следующее:

a := x₁ ; x₁ := x₂ ; y₁ := y₂ ; x₂ := a+(b-a)t; y₂ :=f(x₂ );

Сравнение длины интервала неопределенности с заданной точностью e:

Если (b-a)£e, то положить x* := (b-a)/2 (точка минимума), иначе (если (b-a)<e) перейти к п.4.

Максимум и минимум функции нескольких переменных

Напомним, что под окрестностью точки плоскости понимается внутренность любого прямоугольника, окружающего эту точку, исключая саму точку (проколотая окрестность).

В пространстве это будет произвольный параллелепипед, содержащий эту точку за вычетом самой точки.

Определение 15.1. Максимумом (строгим) функции f (x, y) называется такое значение f(x₁ , y₁ ) этой функции, которое больше всех ее значений f(x, y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки О(х₁ , у₁ ). (Окрестность может быть весьма малой по своим линейным размерам).

Определение 15.2. Минимумом (строгим) функции f (x, y) называется такое значение f (x₂ ,y₂ ), которое меньше всех ее значений f (x,y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности О (х₂ , у₂ ).

Максимум или минимум функции f (x, y) называется экстремумом этой функции. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума (точка минимума, точка максимума).

Аналогично определяется экстремум функции f (x, y, z) и т.д.

Теорема 15.1. (Необходимый признак экстремума функции нескольких переменных ). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Пусть u = f (x, y) и f (x_o , y_o ) - ее максимум (для минимума рассуждения аналогичны). Зафиксируем одну из переменных, например, у, полагая у = у_о , тогда получим функцию одной переменной U₁ = f (x, y_o ), которая, очевидно, будет иметь максимум при х = х_о . Отсюда, на основании теории экстремума одной переменной, получаем, что или не существует.

Пусть теперь у=у_о , а х_о - фиксируем, тогда или не существует.

Следствие В точке экстремума М_о (х_о , у_о ) дифференцируемой функции f (x, y) выполнены равенства

Для U = f(x, y, z) в точке М_о (х_{о ,} у_о, z_о ) будет выполнено условие .

Замечание. Точку, в которой частные производные первого порядка либо не существуют, либо равны нулю, называют критической .

Т.е. экстремумы функции нескольких переменных могут достигаться лишь в критических точках.

Пример 15.1. Покажем, что указанные выше условия не являются достаточными. Пусть z = f(x, y) = x × y тогда имеем

Следовательно, Однако точка 0(0,0) не является точкой экстремума, т.к. в любой окрестности точки 0 (о,о) имеются точки

A (e,e) и B(- e, e) " e > 0 :