Контрольная работа: Экстремумы функции

Определим критические точки . Производная не существует при х ₂ = 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.

Критическая точка функции x =3. Точка x = –1 не входит в область определения функции.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b ]:

Найти все критические точки функции в интервале (a, b ) и вычислить значения функции в этих точках.

Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b .

Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –0,5].

Найдем критические точки функции.

Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.

Итак,

Найти наибольшее и наименьшее значения функцииy=x -2·ln x на [1; e].

Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кругового конуса объема 3π?

По теореме Пифагора

.