Контрольная работа: Экстремумы функции

Поиск завершается, когда оставшийся интервал уменьшается до достаточно малых размеров.

Достоинства этих методов:

устраняется необходимость полного перебора всех допустимых точек.

методы основаны лишь на вычислении значений функции.

(при этом не требуется, чтобы исследуемые функции были дифференцируемы).

Метод золотого сечения

В методе же золотого сечения мы будем выбирать расположение точек х₁ и х₂ , рассекающих интервал, таким образом, чтобы на каждом шаге уменьшения интервала одна из этих точек совпадала с одной из аналогичных точек предыдущего шага, т.е. на каждом шагу уменьшения интервала фактически вводится только одна новая точка, для которой требуется произвести только одно вычисление значения целевой функции.

Такое рассечение интервала новой точкой может быть точно рассчитано. Забегая вперед, запишу эту пропорцию:

Точки х₁ и х₂ расположены симметрично относительно середины интервала (a, b).

b-x₁ x₂ -a -1+

= = » 0.618

b-a b-a 2 .

Такое рассечение интервала и получило название золотого сечения.

Введем обозначения:

D¹ = b-a – исходный интервал.

D² – интервал, полученный после уменьшения интервала D¹ отбрасыванием его левого или правого подинтервала.

D^К+1 – интервал, полученный после уменьшения интервала D^К .

Рассмотрим теперь метод золотого сечения формально. Золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так, чтобы отношение всего отрезка к большей части равнялось отношению большей части к меньшей.

Золотое сечение отрезка [a, b] производится двумя симметрично расположенными точками (х₁ и х₂ ).

Т.е. (b-a)/(b-x₁ )=(b-x₁ )/(x₁ -a)=g и (b-a)/(x₂ -a)=(x₂ -a)/(b-x₂ )=g.

Можно показать, что g = (1+Ö5)/2»1.618.

Примечательно то, что точка х₁ в свою очередь производит золотое сечение отрезка [a, x₂ ], т.е. (x₂ -a)/(x₁ -a) = (x₁ -a)/(x₂ -x₁ ) = g.

Аналогично, точка х₂ производит золотое сечение отрезка [x₁ , b].

Итак, метод золотого сечения состоит в том, что длины последовательных интервалов берутся в фиксированном отношении:

D¹ /D² = D² /D³ = … =g.

Из соотношений D^К /D^{K +1} = D^{K +1} /D^{K +2} = g и D^K = D^{K +1} + D^{K +2}

Получаем: D^K /D^{K +1} = (D^{K +1} +D^{K +2} )/D^{K +1} =1+D^{K +2} /D^{K +1}

g = 1 + 1/g или g² - g -1 = 0.

Корнем этого уравнения является золотое сечение.

g=(Ö5+1)/2 » 1.618 t = 1/g = (Ö5-1)/2 » 0.618.