Контрольная работа: Кривые на плоскости

x = 2r cost (1 + cost )

y = 2r sint (1 + cost )

· В полярной системе координат:

· Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой:

равна:

s = 8a .

· Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой:

равна: .

Свойства кардиоиды:

1. ??????????? ? ???????????? ????? ????????? ???????? ????? ????? ?????????? ????????????? ?????, ???????????? ??????????????? ????? ??????? ??????, ? ??????? ? ????? ????? ?? ???????.2. ????, ???????????? ??????????? ? ????????? ? ??????-???????? ????? ???????, ????? ???????? ????, ??????????? ???? ??????-???????? ? ???????? ????.3. ??????????? ? ?????????, ??????????? ? ?????? ?????, ?????????? ????? ?????, ??????? ???????????????. Циклоиды

Циклоида (от греч. κυκλοειδής— кругообразный) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r , катящейся без скольжения по прямой.

Свойства:

1. Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2πr . За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2πk , где k — произвольное целое число.

2. Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.

3. Длина арки циклоиды равна 8r . Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).

4. Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды.

5. Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен .

6. «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной ). Более того, она имеет также свойство таутохронности : тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

7. Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.

8. Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно — параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».

9. Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r .

· Циклоида описывается параметрически:

x = rt − r sint ,

y = r − r cost .

· Уравнение в декартовой прямоугольной системе координат:

Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения: